是的，OP对傅里叶的直觉似乎是正确的，更具体地说，我提请注意基本的“相关”结构，并为$e^{j\omega t}$是信号处理中真正的“单频分量”（与使用正弦或余弦相反，正弦或余弦由两个频率“音调”组成：正频率和负频率。）。我在最近一篇专门针对傅立叶变换及其直觉的帖子中详细介绍了所有这些内容，因此这里不再重复，但建议在继续阅读下面的拉普拉斯之前阅读它：

傅里叶变换的定性解释

有了这些，我们就可以进入拉普拉斯了。让我们首先为拉普拉斯提供一些基本的动机，然后我们可以进一步了解它的直觉。

在信号处理中，我们经常将拉普拉斯变换用于特定于线性时不变系统（包括两个端口频率选择滤波器）响应的实际应用。我们还指的是系统的脉冲响应（在时域中），它通过使用傅里叶变换与系统的频率响应（在频域中）直接相关。我在下图中演示了这一点：

因此，我们可以通过知道脉冲响应来确定任何输出，但是进行卷积并不像乘法那样有趣——因此我们可以将时域输入波形转换为频域（傅立叶或拉普拉斯）并将其乘以频率系统的响应（脉冲响应的傅里叶变换）或传递函数（脉冲响应的拉普拉斯变换）。这是利用时域中的卷积是频域中的乘积这一特性。还要考虑一个脉冲的傅里叶变换是所有频率一致的——所以通过在输入端提供所有频率并查看我们在输出端的频率得到的结果（因此脉冲的 FT响应是频率响应）。

傅立叶的一个问题是并非所有系统脉冲响应都具有傅立叶变换。傅里叶变换是拉普拉斯变换的结果，当我们限制$s$成为$j\omega$OP 以图形方式显示的轴，一旦我们了解“收敛区域”（ROC），我们就会发现并非所有系统都具有包含$j\omega$轴——例如，极点位于右半平面且本身不稳定的系统将不会进行傅立叶变换。然而这些系统是存在的，如果我们能够正确地描述它们，我们就可以在控制回路中稳定它们（拉普拉斯可以做到这一点！）。

总结一下拉普拉斯的一些动机：

• 时域卷积是拉普拉斯的产物
• 系统脉冲响应的拉普拉斯变换提供了对其行为的重要洞察
• 拉普拉斯变换将积分-微分方程转换为简单的代数（考虑电容器的阻抗 1/(sC) 与我们在处理电容器中的电压和电流关系时需要解决的积分。

直观的拉普拉斯

也就是说，像傅立叶一样，拉普拉斯变换是一种“相关”形式，因为它是复杂共轭产品的集成（参见上面的链接帖子）。傅里叶变换产生了这种相关性的幅度（和相位）与我们正在相关的频率变量的一维图。所以从幅度上我们可以看到某个任意波形内每个频率分量的“强度”$x(t)$由傅里叶变换给出（与$e^{j\omega t})$：

例如下面的示例图，我们有$\omega$在一个轴上并在另一个轴上显示大小。每个样本实际上都有一个幅度和相位，我们可以将其显示为单独的图，但重要的是要注意结果是复数。

拉普拉斯具有相似的形式，除了我们“关联”到$e^{st}$：

使用傅立叶，我们将任意函数分解为它作为自旋相量的单个基本分量，每个基本分量都以恒定速率（因此恒定频率）和恒定幅度随时间旋转。

使用拉普拉斯，我们增加了这些相量随时间增长或衰减的能力，因此我们将任意波形（通常“波形”是上面介绍的系统的脉冲响应）中的所有基本分量确定为旋转相量，它们是允许随时间生长或腐烂。绘制时拉普拉斯变换的结果是一个曲面图，因为我们改变了两个参数（自旋或频率和衰减率）。我们通常简单地绘制这个表面到无穷大（作为极点）和它在哪里变为零（作为零点）的奇点，因为该表面上的每个其他点都是由这些极点和零点唯一确定的（因此我们只需要显示完全代表它）。

例如，如下图所示，如果我们的波形（这里是脉冲响应）是一个衰减指数，给出如下$x(t)=e^{-2t}$那么拉普拉斯变换将在$s=-2$，这是我们要关联的一点$e^{st}= e^{-2t}$说得通！

这是产品在整个 s 平面上唯一的一个位置$x(t)y(t)$和$y(t)=e^{-st}$（就像我们在积分之前进行拉普拉斯变换时所做的那样），其中$y(t)$会随着时间增长（如$e^{2t}$) 以完美地抵消腐烂的$x(t)$, 导致一个常数$1$一直以来——因此随着我们从$t=0$到$t=\infty$在适用于因果波形的单边拉普拉斯变换中。同样如果$x(t)$有任何频率分量（自旋相量），那么拉普拉斯变换将在无穷远处达到奇点$y(t)$完全相反地旋转（复共轭）并且与任何衰减完全相反地生长。很酷！

所以我们现在也可以看到整个“收敛区域”的事情以及那里发生了什么：我们在上面看到了我们是如何通过位置找到极点的$y(t)$增长到足以完美抵消$x(t)$的衰败。我们走得越远$y(t)$的实分量在实轴左侧，它会增长得越多，因此拉普拉斯变换不会收敛到超出该边界的任何点的解。该边界被特别指定为因果系统的最右极。