多么棘手的问题不容忽视。事实上，正如评论所述，我是那些会立即强调傅立叶变换确实会浪费时间定位事件的人之一。然而，任何（可变换的）信号波形在这种可逆变换（包括它的所有时间分布信息）下都被准确地保留（在数学上和实践上）肯定是正确的。您的反向啁啾案例清楚地证明了这一点。这需要一个答案。至少要澄清为什么有一个广为接受的观点，即 FT 不保留事件的时间定位？

现在，傅里叶变换正在失去信号的时间定位的想法来自于观察到它的基数是无限范围的正弦曲线。无限范围和恒定幅度的正弦波不会有时间定位。另一方面，它具有完美的频率定位，是具有精确频率的一对脉冲。例如，小波的基在两个域中都是局部的。

这就是时频分析的本质。一个在频率上完全本地化的基础将失去所有时间定位，而一个在时间上完全本地化的基础将失去任何频率定位。介于两者之间的是在精确定位和完全不定位之间提供折衷的转换。

傅立叶基数无限大这一事实的结果如下：假设信号的一部分包含一个持续时间很短的高频尖峰，而其余部分则具有相当静止的低频变化。当使用傅里叶分解或合成来分析或构造这样的信号时，高频尖峰（其在时间上高度局部）将由高频正弦基创建，该高频正弦基不仅存在于尖峰的位置，而且还存在沿着信号的所有其余部分。因为这些正弦将从整个信号持续时间的开始延伸到结束。这就产生了一个问题，即本地处理对于瞬态信号的傅立叶基非常低效。和瞬态信号在许多数学、科学和工程领域都非常重要。

小波是一种最佳（可能在某种意义上？）变换，可提供最大数量的同时时频定位（分辨率）。这从其底座的波包（或高斯，或马克西恩帽，或无形的daubechies ...）形状中可以清楚地看出。因此，小波可以提供与前一段相关的问题的改进解决方案。

频谱图部分地提供了与小波时频分析类似的信息，并为您提供信号在其持续时间内的频率内容。

请注意，您仍然可以对瞬态情况进行傅立叶分析，但这需要 Peter K. 所说的 codswallop 工作......

傅立叶变换通常产生复杂的光谱数据。在某些技术条件下，它们是双射。通过傅里叶变换，您可以唯一地恢复一个信号。但是，在查看频谱时，情况有所不同：信号可以具有相同的幅度谱和非常不同的相位，如下例所示：

作为双射，傅里叶变换不会丢失时间定位；然而，幅度谱不知何故。一个问题是，相位以一种通常不容易阅读或破译的方式对时间或空间定位进行编码。一种解释是，对于不太稳定的数据，相位可以非常快速地变化，并且在$]-\pi,\pi]$，它看起来像一个被截断的信号，很难解开。这尤其适用于图像。下面是 Lenna 的一排，Cornouaille 船的一排。

第二列是幅度谱。摇摇欲坠，但可读。第三列是展开阶段。它似乎根本没有结构。然而，它编码了原始图像中的大部分变化。您可以通过交换模数和相位来测试它：这是第四列。如果你取Lenna光谱的模数和船的相位，做一个逆傅里叶变换，你会得到一艘幽灵船，几乎没有Lenna的痕迹。您可以在底行看到相反的情况。相位分量承载着很多信息，但如果不进行本地化，则不容易理解。

定位光谱的一种方法是使用窗口$h$，你很容易得到短时傅里叶变换：

$$S_s(\tau,f;h) = \int s(t)h^*(t-\tau) e^{-\imath 2 \pi f t} dt$$

但如果你考虑$h$作为一个无限常数窗口，那么$h^*(t-\tau)$是常数，你恢复标准傅里叶变换：

$$S_s(\cdot,f;1) = \int s(t) e^{-\imath 2 \pi f t} dt$$

但人们仍在试图理解复杂的相位模式，即使是短时傅里叶。窗口化并不能揭示一切。

[编辑] 在时间频率或时间尺度表示中找到最佳表示是一件困难的事情，原因有几个（并非详尽无遗）：

• “最佳”通常与客观指标相关。传统的权衡（Weyl-Pauli-Heisenberg）被表述为$L_2$范数，非常适合双时/频向量空间。然而，它并没有告诉你表示是如何简单、稀疏的，而且许多其他信息度量（熵、散度）在这方面提供了很多信息，但计算起来却非常困难。
• 所有数据的“最佳”意义不大，应该限制在更具体的数据模型和空间，并在这些类中推导出“最佳”：分段多项式、峰值总和......
• 数字信号需要对上述连续方案进行离散化，而离散化的方式会产生很大影响。
• 实际测量不服从标准假设：一切都不是线性的，实现不精确地遵循理论分布，短数据不具有渐近特性。
• 最终，理论上的最佳值并不是您可以轻松参数化以获得可重复结果的最佳值。

如果您的数据形态多样（如尖峰 + 振荡），您可能不得不尝试掌握不同的工具：框架、基数并集、数据转换等。

FT（可逆）确实保留了所有瞬态事件时间信息，但是通常通过将其分布为整个相位谱的变化来保存时间局部性信息，这会掩盖（或几乎像加密）所有时间局部性信息。人类必须解密（逆 FT）相位，以便根据时间（早、晚、何时等）从瞬态事件中获得任何意义。

频谱图或类似 STFT 的时频表示预先窗口化数据以在所有频率变换将（模糊/加密）时间局部性细节转换为隐藏或不太直观的形式之前预先保留一些时间局部性信息（在窗口参数中） . 在小波的情况下，可以在每个变换基向量内进行一种预先保留时间局部性的加窗形式，而不是在 FT 之前的信号或数据。