信息处理 - 设计一个返回输入信号直流值的 LTI 系统 - 吾爱随笔录

设计一个返回输入信号直流值的 LTI 系统

信息处理连续信号线性系统冲动反应

2022-02-10 18:45:29

假设是 LTI 系统的脉冲响应。输入信号是周期为的周期性信号。确定以使输出信号仅是的直流分量。一定是唯一的吗？ $h(t)$ $x(t)$ $T$ $h(t)$ $y(t)$ $x(t)$ $h(t)$

我的尝试：

众所周知，LTI 系统对周期性输入的响应是周期性的。所以我认为唯一可能的是常数函数。如果我们让则： $h(t)$ $h(t) = 1$

\begin{matrix} (1) & y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (λ) d λ \end{matrix}

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\lambda)d\lambda \tag{1}$

根据 Matt L. 的回答，DC 值的定义是：

\begin{matrix} (2) & \bar{x} = lim_{T_{0} \to \infty} \frac{1}{T_{0}} \int_{- T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} x (t) d t \end{matrix}

$\bar{x}=\lim_{T_0\rightarrow\infty}\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)dt\tag{2}$

显然 $(1)$ 和 $(2)$ 是不同的。那么合适的 $h(t)$ 是多少？也许问题对 DC 值使用不同的定义？

4个回答

DC 值只是平均值。由于信号是周期性的，您只需要取一个周期的平均值。这可以简单地完成

h (t) = {\begin{matrix} 1 / T, 0 < t < T \\ 0, e l s e w h e r e \end{matrix}

$h(t)=\left\{\begin{matrix} 1/T, 0 < t < T\\ 0, {\rm elsewhere} \end{matrix}\right.$

显然（1）和（2）是不同的。

(1) 不会收敛，所以这行不通

(2) 是非周期性函数的最佳方式。它也适用于周期性函数，但不必要地复杂

恒定的脉冲响应将不起作用，因为如果输入信号具有非零直流分量，则输出会爆炸。请注意，输入信号在 DC 和的整数倍处具有频率分量，后者是其基频。因此，您只需要一个保留 DC 分量并滤除的所有整数倍数的滤波器。任何截止频率小于的低通滤波器都可以完成这项工作。您只需要确保低通滤波器在直流处的频率响应是统一的，因此它不会改变输入信号的直流分量的值。 $1/T$ $1/T$ $1/T$

编辑：澄清一下，有无限多的过滤器可以满足您的要求。您只需要 DC 处的单位增益，频率 ,处的零增益。任何在 DC 处具有单位增益且截止频率满足的低通滤波器都是一种解决方案（如上所述）。 $f_k=k/T$ $k=1,2,\ldots$ $f_c$ $0<f_c<1/T$

但也有其他解决方案，例如在、处具有陷波的滤波器（以及在 DC 处的单位增益）。Hilmar 的回答中提出了一种这样的过滤器。 $f_k=k/T$ $k=1,2,\ldots$

我会做以下事情，首先设计一个滤波器，它只能从 DC 中取出。第一次尝试会说在 z = 1 处或在实轴上实部 = 1 的单位圆上放置零，为此的传递函数给出为，此传递函数的频率响应如下图所示。

\begin{matrix} (1) & H_{1} (z) = 1 - z^{- 1} \end{matrix}

$H_{1}(z) = 1 - z^{-1} \tag{1}$

然而，这个传递函数也会抑制接近 DC 的其他附近频率，所以我们将放置一个非常接近这个零的极点，并具有像。该传递函数的频率响应如下所示。

\begin{matrix} (2) & H_{2} (z) = \frac{1 - z^{- 1}}{1 - 0.99 z^{- 1}} \end{matrix}

$H_{2}(z) = \frac{1 - z^{-1}}{1- 0.99z^{-1}} \tag{2}$

Z 平面中极矢量的大小决定了我们能够消除多少零的影响。以下链接提供了具有不同极点大小的缺口模拟（在 asnwer 的末尾）

现在我们有了一个非常合适的陷波滤波器，可以去除 DC。将极点置于零之内/下方的效果是在附近频率处抵消极点的影响，但在或 DC 处不完全抵消它。 $z =1$

下一步是设计作为的互补滤波器。

H_{3} (z) = 1 - H_{2} (z)

$H_{3}(z) = 1 - H_{2}(z)$

这个反转时会给你想要的 DC 滤波器。该滤波器的频率响应如下所示： $H_{3}(z)$

因此，输入在通过滤波器时会提取出 DC。 $x(n)$ $H_3(z)$

我已经说明了和，只是为了说明设计和动机。滤波器是提取 DC 所需的滤波器。 $H_1(z)$ $H_2(z)$ $H_3(z)$

这种方法称为设计的极点和零点放置方法，适用于此类场景。这是标准文献，您可以在网上查找。我在 stackecxhange 本身上为您找到了一个相关问题，链接如下。

采用零极点放置法的滤波器设计

注意：这里的理想滤波器也几乎是放置在 DC 中的 DTFT 中的 Dirac Delta，但它的逆变换是始终为 1 的无限序列，在实际实施时需要对其进行缩减，从而扩展相应的频率响应在 DTFT 中大约为零

对于有限能量信号（零功率），时间平均值为零。对于周期信号（功率有限但能量无限），MattL 已经提到频率分量存在于处，即的倍数，其中是整数。上定义的 DC 值为x_ 表达式是卷积与，其中是和 $f =k/T$ $1/T$ $k$ $-\infty \lt k \lt +\infty$ $x(t)$

x_{D C} = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} x (t) d (t) = \frac{1}{T} X (f) |_{f = 0}

$x_{DC} = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)d(t)=\frac{1}{T}X(f)|_{f=0}$

\frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} x (t) d (t)

$\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)d(t)$

x (t)

$x(t)$

h (t) = \frac{1}{T}

$h(t)=\frac{1}{T}$

h (t)

$h(t)$

1 for - T / 2 \leq t \leq + T / 2

$1\text{ for }-T/2 \le t \le +T/2$

0 elsewhere

$0\text{ elsewhere}$ 并取处的值。即这个的效果是在频域，我们正与一个 sinc 函数相乘，该函数在的倍数处为零。由于处的 sinc 函数值为，因此比例因子抵消了这一点，导致为 DC 值。所以总而言之，DC 值是的输出，其中脉冲响应是如上定义

y (0)

$y(0)$

x_{D C} = y (t) |_{t = 0} where y (t) = x (t) * h (t)

$x_{DC}=y(t)|_{t=0}\\ \text{where } y(t)= x(t)*h(t)$

f = 0

$f=0$

1 / T

$1/T$

f = 0

$f=0$

T

$T$

1 / T

$1/T$

X (0)

$X(0)$

y (t)

$y(t)$

t = 0

$t=0$

h (t)

$h(t)$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇加窗傅里叶变换谱图中的奇怪现象[编辑] 下一篇时频分析的动机