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图像处理中的 FFT 系数是否对称？

信息处理图像处理傅里叶变换图像压缩

2022-02-20 22:34:49

在 Ian T. Young、Jan J. Gerbrands、Lucas J. van Vliet ( pdf ) 的Fundamentals of Image Processing 的第 11 页上，显示了傅立叶变换的结果（图 4a 和 4b），在我看来（请纠正我）如果我错了），则该变换可能会在四个象限中显示冗余数据。如果是这样，是否不可能（特别是对于高度对称的图像）只取左上象限，将其向左翻转，然后取该结果的上半部分并将其向下翻转。当执行反向 FFT 时，这不会保留很多信息吗？如果是这样，在应用压缩算法（如 JPEG 算法）之前，它将允许传输信息减少 4 倍。

2个回答

对于真实图像，确实存在形式冗余，称为厄米特或共轭对称，如@Fat32 所述。然而，这种对称性被傅里叶系数的复数表达式“调制”。因此，由于实数/虚数或模数/相位耦合，FFT 需要一半的系数，但数量是两倍。总而言之，冗余消失了。

更准确地说，对长度信号的 FFT 为您提供非冗余系数：第一个 (DC) 和最后一个 (Nyquist) 总是实数，通常是复数。所以你有复数系数，加上一对实数，总共“对”系数。 $2n$ $n+1$ $n-1$ $n-1$ $n$

通常，对于线性变换，您不能期望双射的一对一映射具有比信号/图像中的样本更少的变换系数，除非，如 @Fat32 所述，您减少了数据空间，但话又说回来，转换后的空间自然会具有与数据相同的维度。

你的观察基本上是对的。

给定一个二维离散空间实序列 $x[n_1,n_2]$ , 其二维离散空间傅里叶变换 $X(e^{j{\omega}_1},e^{j{\omega}_2})$ 是一个复值函数，它是共轭对称的；IE，

X (e^{j ω_{1}}, e^{j ω_{2}}) = X (e^{- j ω_{1}}, e^{- j ω_{2}})^{*}

$X(e^{j{\omega}_1},e^{j{\omega}_2}) = X(e^{-j{\omega}_1},e^{-j{\omega}_2})^*$

这会产生冗余。具体来说，第一象限映射到第三象限（相位反转），第二象限映射到第四象限（相位反转）

如果输入图像被进一步调节为偶数序列左右，那么得到的傅里叶变换将表现出进一步的对称性，因此会出现冗余。

但是，对于图像压缩应用程序，不使用 DSFT（或 DFT）。取而代之的是一种更有效且冗余更少的变换，即离散余弦变换 (DCT)。

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