信息处理 - 有限信号的 Z 变换 - 吾爱随笔录

信息处理离散信号 z变换

2022-01-27 23:41:44

我试图求解的 Z 变换u[n] - u[n-N]，其中 u[n] 表示离散单位阶跃函数，N 是某个有限整数。我用两种方法解决了这个问题。

方法一：

使用时间延迟属性进行 z 变换并记住 delta[n] 的 z 变换 = 1；我得到：

这表明 ROC 是 |Z| > 0

方法二：

我知道与 ROC |Z|的 z 变换 > 1 $u[n] = \frac{z}{z-1}$

在 u[n] 和 u[nN] 上使用这个和时间延迟属性我说：

使 2 分数的分母相等并化简为：

这表明 ROC |z| > 1。

方法 1 中的结果是有意义的，因为信号是有限持续时间的信号，并且在计算 z 变换时，采用 z=0 基本上意味着除以零的情况。

但是方法 2 是通过简单地将 z 变换的属性应用于特殊信号的一些预先已知的结果而产生的。

那为什么结果不一样呢？

2个回答

注意

\begin{matrix} (1) & 1 + z^{- 1} + \dots + z^{- (N - 1)} = \sum_{n = 0}^{N - 1} z^{- n} = \frac{1 - z^{- N}}{1 - z^{- 1}} \end{matrix}

$1+z^{-1}+\ldots + z^{-(N-1)}=\sum_{n=0}^{N-1}z^{-n}=\frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}}\tag{1}$

我使用了有限几何级数的公式。

因此，您的结果都是相同且正确的。

中华民国是 $|z|>0$ ，这是所有有限长度的因果序列的情况。请注意，在右侧的表达式中 $(1)$ 有一个零极点抵消 $z=1$ ，所以实际上在 $z=1$ ，因此中华民国 $|z|>0$ .

也许我错了，但这是我的看法：您编写的两种方法给出了相同的结果。

让我们选择 $z=2 + j0$ 例如和长度 $n=5$

如果我们总结 $Z\{x[n]\} = Z\{ u[n]-u[n-5] \} = 1+2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}=1.9375$

你的方法2也是如此：

$\dfrac{1}{1-z^{-1}}-z^{-n}\dfrac{1}{1-z^{-1}}$ 将会 $\dfrac{1}{1-2^{-1}}-\dfrac{2^{-5}}{1-2^{-1}}=1.9375$

两者的结果相同。他们只是碰巧看起来不同，但他们的意思是一样的。

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