我将尝试以一种直观而不是严谨的方式来解释它。

傅立叶变换背后的主要思想是“投射”一个信号$s(t)$另外一个$\phi(t)$. 如果投影不为零，则$\phi(t)$被“包含”在$s(t)$，从某种意义上说，你可以写$s(t)$作为

$$s(t) = A\phi(t) + \text{other signals},$$ 和$A \neq 0$.

投影定义为

$$A = \int_{-\infty}^\infty s(t) \phi^*(t)\,dt.$$

你当然可以项目$s(t)$在多个信号上；你可以找到投影$\theta(t)$

$$B = \int_{-\infty}^\infty s(t) \theta^*(t)\,dt$$ 然后你可以这么说 $$s(t) = B\theta(t) + \text{other signals}.$$

在投影的情况下$\phi(t)$在$\theta(t)$为零（在这种情况下，它们被称为正交），您可以进一步说

$$s(t) = A\phi(t) + B\theta(t) + \text{other signals}.$$ 因为你发现了两个组件$s(t)$，您可以期望最后一个等式的“其他信号”部分比投影时“更小”（能量更少）$\phi(t)$或者$\theta(t)$独自的。

现在，傅里叶所说的是，如果你将信号投射到片场$\lbrace e^{j\omega t} \rbrace$，上述等式的“其他信号”部分将为零。所以，这个集合很特别：据说它是所有信号的“完整”基础（虽然它不是唯一的完整基础）。

因此，如果您查看傅立叶变换积分，您会注意到它正在将您的时域信号投影到这个完整的集合上。事实证明，当你投影余弦时$\cos(\omega_0 t)$在这组指数上，您恰好得到两个不为零的投影。这意味着余弦可以写成这两个投影的总和。

功能$x(t)=\cos(\omega_0t)$有一个傅里叶变换，它不只包含一个脉冲$\omega=\omega_0$. 事实上，它由两种冲动组成：一种和另一种在$\omega = -\omega_0$.

这可以从欧拉公式中看出：

$$\cos(\omega_0t) = \frac{e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t}}{2}$$

很清楚这两种冲动来自哪里。

您在两个问题中似乎缺少的是对欧拉方程的理解：

$$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \cdot \sin(\theta)$$

从概念上讲，它说三角函数实际上是指数函数。具体来说，它描述了复平面中沿单位圆圆周的距离的转换$(\theta)$以形式的基础复数值$a+bi$. 我的第一篇博客文章复数单位圆的指数性质试图直观地解释这个方程如何定义单位圆上的一个点。

现在沿着圆周在另一个方向走相同的距离，你就到了复共轭点。

$$e^{-i\theta} = \cos(\theta) - i \cdot \sin(\theta)$$

将这两个值相加，您将得到一个实数。

$$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$$

从那里，价值$\cos$可以求解，得到余弦方程。

$$\cos(\theta) = \frac{ e^{i\theta} + e^{-i\theta} }{ 2 }$$

DFT bin中复数值的含义是我第二篇博文的主题。

您的其他问题没有指定连续案例与离散案例。每个都有一个傅里叶变换。DFT 是后者。在离散情况下，只有在样本帧内具有整数周期的正弦信号才会只有与频率对应的 bin 具有非零值。如果不存在整数个周期，则与最接近的频率仓相邻的仓将具有逐渐变细的值。这称为泄漏。