信息处理 - 系统响应：LTI 系统x [ n ] =罪(πn4)x[n]=sin⁡(πn4) - 吾爱随笔录 - 问答

系统响应：LTI 系统x [ n ] =罪(πn4)x[n]=sin⁡(πn4)

信息处理离散信号频率响应线性系统

2022-02-02 00:40:44

考虑具有频率响应的 LTI 系统

H (e^{j ω}) = \frac{1 - e^{- j 2 ω}}{1 + \frac{1}{2} e^{- j 4 ω}}, - π < ω < π

$H(e^{j\omega}) = \frac{1-e^{-j2\omega}}{1+\frac{1}{2}e^{-j4 \omega}}, -\pi < \omega < \pi$ 确定输出

y [n]

$y[n]$ 对全部

n

$n$ 如果输入

x [n]

$x[n]$ 对全部

n

$n$ 是

x [n] = \sin (\frac{π n}{4})

$x[n] = \sin \left(\frac{\pi n}{4}\right)$

我的尝试： $x[n]$ 是 LTI 系统的特征函数，因此输出具有以下形式

y [n] = | H (e^{j ω}) | \sin (\frac{π n}{4} + a r g (H (e^{j ω}))

$y[n]=|H(e^{j \omega})|\sin\left(\frac{\pi n}{4} + arg(H(e^{j \omega})\right)$ 但我不知道如何用这种形式确定频率响应的相位和模量。例如，我认为

| 1 - e^{- j 2 ω} | = \sqrt{(1 - \cos (2 ω))^{2} + \sin^{2} (2 ω)}

$| 1 - e^{-j 2 \omega} | = \sqrt{(1-\cos(2 \omega))^2 + \sin^2(2 \omega)}$ 类似地，为分母做，我无法简化结果。

答案：

y [n] = 2 \sqrt{2} \sin (\frac{π (n + 1)}{4})

$y[n]=2 \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi(n+1)}{4} \right)$

1个回答

你肯定在正确的轨道上。您尝试解决问题的方法是最好和最简单的。您只需要意识到您只需要评估一个频率的频率响应的幅度和相位，即正弦输入信号的频率：

y [n] = | H (e^{j ω_{0}}) | \sin (n ω_{0} + ϕ (ω_{0}))

$y[n]=\left|H(e^{j\omega_0})\right|\sin\left(n\omega_0+\phi(\omega_0)\right)$

和 $\omega_0=\pi/4$ 和 $H(e^{j\omega})=\left|H(e^{j\omega})\right|e^{j\phi(\omega)}$ .

评估给定的频率响应 $\omega_0=\pi/4$ 给

\frac{1 - e^{- j π / 2}}{1 + \frac{1}{2} e^{- j π}} = \frac{1 + j}{1 - \frac{1}{2}} = 2 (1 + j) = 2 \sqrt{2} e^{j π / 4}

$\frac{1-e^{-j\pi/2}}{1+\frac12 e^{-j\pi}}=\frac{1+j}{1-\frac12}=2(1+j)=2\sqrt{2}e^{j\pi/4}$

从中得出正确的结果。

最后一点，您错误地将正弦输入信号称为 LTI 系统的特征函数。这不是真的，它是复指数 $e^{jn\omega_0}$ 这是一个特征函数，因为它出现在输出上除了按复数常数（特征值，它恰好是在给定频率下评估的复数频率响应的值）缩放之外没有变化。这不适用于正弦曲线，它不是简单地由 LTI 系统缩放。

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