信息处理 - 傅里叶变换的傅里叶变换 - 吾爱随笔录

傅里叶变换的傅里叶变换

信息处理傅里叶变换频谱噪音卷积匹配过滤器

2022-01-30 02:11:35

我生成一个高斯噪声，然后用通带 FIR Kaiser 窗滤波器对其进行滤波。当我对滤波器的输出执行傅里叶变换并绘制其幅度谱时，它会在正确的频带中进行滤波。现在，我对第一个傅立叶变换的输出执行第二个傅立叶变换（这次我在一个复数向量上执行它并且在频域中执行它），当我绘制幅度谱时，我看到了与原始的非常相似的东西过滤噪声。我知道这不是时域，我知道这个频谱甚至不是因为输入信号很复杂。但是，由于滤波噪声的时间图和傅里叶变换（噪声的傅里叶变换）的绝对值图在视觉上相似，我产生了疑问。

为什么对滤波后的噪声进行傅里叶变换后得到的复向量的幅度谱又一次占据了整个向量（整个频带），就好像它们是时间向量中的时间样本一样？
噪声的傅里叶变换的傅里叶逆变换中的负号是否没有影响，从而在视觉上类似于执行噪声的傅里叶变换的傅里叶变换和执行噪声的傅里叶变换的傅里叶逆变换？

当我试图对在 Matlab 中实现的匹配滤波器进行过滤时，我产生了这个疑问IFFT(FFT(signal_1).*FFT(signal_1_inverted))，我不小心过滤了已经傅立叶变换的信号的输出并且没有注意到差异（不是在滤波器的输出上，而是在输出上的第一个 FFT 阶段）。这让我想到了另一个问题。

假设我想通过比较它们的频谱来检测 2 个信号的可能性，并且我想通过使用匹配滤波器来测量可能性。知道时间上的卷积是频率上的乘法，频率上的卷积是时间上的乘法，如果我在频谱上使用匹配滤波器（一种卷积操作），我会得到相同的结果，而不是我执行一个样本一个样本我想确定其频谱可能性的信号的时域相乘？

2个回答

将离散傅里叶变换 (DFT) 两次应用于时域信号，应以循环时间反转和线性缩放 (N) 形式产生原始时域信号；因为逆 DFT 与正向 DFT 非常相似，除了复指数的符号，线性比例为 1/N。

的逆 DFT为： $X[k]$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j \frac{2 π}{N} k n}

$x[n] = \frac {1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} {X[k]e^{j \frac{2\pi}{N} k n}}$

的符号恢复为负，通过改变的符号，你得到的是： $e^{j \frac{2\pi}{N} k n}$ $n$ $x[n]$

N x [(- n)_{N}] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{- j \frac{2 π}{N} k n}

$N x[(-n)_N] = \sum_{k=0}^{N-1} {X[k]e^{-j \frac{2\pi}{N} k n}}$

这是原始信号的循环反转（通过表示的模运算符获得）版本的 N 倍，它是通过应用于的明显正向但有效逆向 DFT 获得的，它被视为一个时域序列，这是您在将前向 FFT 应用于的第二阶段所做的。 $(.)_N$ $x[n]$ $X[k]$ $X[k]$ $x[n]$

IFFT 和 FFT 之间的差异（仅）在于结果向量的方向（按时间向前或向后/反向索引），通常是 N 或 1/N 的比例因子。因此，如果输入非常接近对称外观以至于反转时看起来并没有太大差异，并且您的绘图会自动缩放，那么您应该会看到几乎相同的东西。

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