我最近一直在阅读有关小波变换及其与傅里叶变换的关系。据我了解，小波变换表示具有许多短寿命函数（小波）的信号数据。两者之间的主要区别在于傅立叶不会在时间上采样，而只是在频率上。我对小波方法有几个问题：
1）为什么要求小波函数积分为零？
据我了解，小波沿时域移动并压缩或拉伸以匹配该时间点的信号频率。所以小波能够及时捕捉不同地点的频率。
2）小波如何捕获原始域中更高或更低的峰值？例如，请参见我在 R 中模拟的下图。虚线表示小波变换近似。如果这条虚线仅在 x 方向上移动、压缩或拉伸，它如何能够捕获更高或更低的峰？
对于第一个问题，用文字。在连续小波上下文中，您希望将一类信号表示为单个小波形状的平移和缩放的加权和，而不会丢失信息. 这意味着这些系数可以通过“另一个”小波的组合精确地转换回原始信号。由于不同的原因，如果我们希望这个另一个小波成为初始小波，这种自可逆性对可能的小波候选者施加了一些限制。一个是所谓的“可容许性”条件，它强加一个零均值小波（以及高频的快速衰减）。当小波被离散化时，这进一步减少了潜在小波形状的多样性，并且仍然继承了零均值，或积分为零。您可以在这里查看我的其他答案：小波的可接受性条件。
在实践中，对于离散或有限长度的数据，可以容忍在积分足够小时进行线性小波分解。此外，一些松散地称为小波的多尺度方案（有些是非线性的）甚至都不会打扰。数据的低通、非零均值部分通常被转换为所谓的缩放函数或信号近似。
对于第二个问题，位移和尺度是小波框架结构所固有的。如果信号乘以一个常数，线性小波分解会将其系数乘以相同的常数，正如您猜对的那样。