任何在给定频率下频率响应幅度大于 1 的滤波器$\omega$, 放大该频率的信号。

在离散时间中，典型的白噪声是一种宽带信号，其功率谱范围为$-\pi$到$\pi$.

数字一阶差分滤​​波器是具有脉冲响应的 LTI 系统$h[n] = \delta[n] - \delta[n-1]$和频率响应$H(\omega) = 1 - e^{-j\omega}$，其大小为：

$$|H(\omega)| = \sqrt{ 2 - 2 \cos(\omega) } = \sqrt{ 4 \sin^2(\omega/2) } = 2|\sin(\omega/2)|$$

如您所见$\omega \to \pi$，则幅度变为$2$它大于单位，因此放大了在这些频率上发现的任何噪声内容。

请注意，在任何数字系统中，由于数字表示格式的固有量化，总会存在噪声，因此总会使用给定的一阶差分滤​​波器对其进行放大。

让$y[n] = x[n] + v[n]$是你要过滤的信号，用$x[n]$信号的有用部分和$v[n]$一些加性高斯白噪声方差$\sigma^2$在感兴趣的带宽中。

使用一阶差分滤​​波器过滤后$h[n] = \delta[n] - \delta[n-1]$， 你得到

$$z[n] = (h \ast y)[n] = y[n] - y[n-1] = \underbrace{x[n] - x[n-1]}_{\text{useful part}} + \underbrace{v[n] - v[n-1]}_{\text{noise } v'[n]}.$$ 噪声的方差$v'[n]$您在过滤后获得因此加倍并由下式给出$2\sigma^2$.