信息处理 - 的傅里叶变换因( nωt ) _ _cos⁡(nωt) - 吾爱随笔录

的傅里叶变换因( nωt ) _ _cos⁡(nωt)

信息处理傅里叶变换

2022-02-09 10:52:16

我的问题可能很愚蠢，但我现在已经为此苦苦挣扎了一段时间......

需要找到的傅里叶变换。 $1+\cos^3(2\pi ft)$

我写道：所以我有：

\cos^{3} (2 π f t) = \frac{\cos (6 π f t) + 3 \cos (2 π f t)}{4}

$\cos^3(2\pi ft)=\frac{\cos(6\pi ft)+3\cos(2\pi ft)}{4}$

δ (f) + \frac{1}{8} [δ (f - 3 f_{0}) + δ (f - 3 f_{0})] + \frac{3}{8} [δ (f - f_{0}) + δ (f - f_{0})]

$\delta(f) +\frac 18 \bigg[\delta(f-3f_0)+\delta(f-3f_0)\bigg] +\frac 38 \bigg[\delta(f-f_0)+\delta(f-f_0)\bigg]$

所以，在我的范围内，我应该在有一个狄拉克，在有一个更小的狄拉克，在有一个更小的…… $0$ $f_0$ $3f_0$

但是当我用 matlab 处理它（使用快速傅立叶变换）时，我得到了这个：

（频率为）。 $10\textrm{ kHz}$

所以我认为在的狄拉克实际上是在。我错过了什么？ $3f_0$ $\frac{f_0}{2}$

2个回答

谢谢大家！谢谢！

我真的对自己的数学技能没有信心，所以我专注于傅立叶变换，但正如你们都猜到的，问题是我的采样频率太小（我使用的是 25kHz）。使用 60kHz，它就像一个魅力。不过还是觉得自己像个白痴；-)

谢谢！

PS：总结一下是否有人面临同样的问题

理论部分是赖特的。我们有：

δ (f) + \frac{1}{8} [δ (f - 3 f_{0}) + δ (f - 3 f_{0})] + \frac{3}{8} [δ (f - f_{0}) + δ (f - f_{0})]

$\delta(f) +\frac 18 \bigg[\delta(f-3f_0)+\delta(f-3f_0)\bigg] +\frac 38 \bigg[\delta(f-f_0)+\delta(f-f_0)\bigg]$

问题在于我的模拟：我忘记检查我的采样频率是否满足 Nyquist-Shannon 标准（）。 $Fs > 2F_{max}$

因此，使用此代码：

Fs = 7e4;            % Sampling frequency
T = 1/Fs;             % Sampling period
L = 100000;             % Length of signal
t = (0:L-1)*T;        % Time vector
fm = 10e3;

X = 1+(cos(2*pi*fm*t)).^3;
%X = 1 + 0.25*cos(3*2*pi*10000*t)+(3/4)*cos(2*pi*10000*t);
Y = abs(fft(X));

f = 0:Fs/L:Fs/2;
plot(f,Y(1:L/2+1))
xlabel('f (Hz)')
ylabel('|P1(f)|')

我们得到预期的结果：

让我们来看看你扩张的前半部分； $cos(6\pi f_{0} t)$

对此的傅里叶变换将是

X_{c} (j Ω) = π δ (Ω - 6 π f_{0}) + π δ (Ω + 6 π f_{0})

$\begin{equation} X_{c}(j\Omega) = \pi \delta(\Omega - 6\pi f_{0}) + \pi \delta(\Omega + 6\pi f_{0}) \end{equation}$

为了使您的傅立叶变换正确，我们需要

6 π f_{0} < π f_{s}

$\begin{equation} 6\pi f_{0} < \pi f_{s} \end{equation}$

这意味着您的采样率必须足够高以避免混叠。你确定你的 $f_{0} < f_{s}/2?$

在我看来，这就是问题所在。

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