我正在尝试设计一个近似希尔伯特变换的 FIR 滤波器，以获得$90^{\circ}$相移和单位增益。但是，我无法调整过滤器以使其成为因果关系。我已经阅读了这个答案，这非常有帮助。这是我到目前为止所得到的。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal.windows import hamming

N = 50
H = hamming(2 * N + 1)


def coeff(n):
    if n == 0:
        return 0
    return H[int(n + N - 1)] * (2 / np.pi) * (np.sin(np.pi * n / 2) ** 2 / n)


def freq(w):
    return np.sum(
        [coeff(n) * np.exp(-1 * 1j * w * n) for n in range(-N, N + 1)]
    )


if __name__ == "__main__":
    freq_vals = np.linspace(0, np.pi, 1000)
    freq_resp = [np.abs(freq(w)) for w in freq_vals]
    ang_resp = [np.angle(freq(w)) for w in freq_vals]
    # plot frequency response
    plt.plot(freq_vals / np.pi, freq_resp)
    # plot phase shift
    plt.plot(freq_vals / np.pi, ang_resp)
    plt.show()

coeff使用等式计算理想的希尔伯特变换系数

$$h[n] = \begin{cases} \frac{2}{\pi}\frac{\sin^2(\pi n/2)}{n} && n\neq 0,\\ 0 && n = 0,\\ \end{cases}$$

我取自离散时间信号处理 (3e) p.959。我已经限制$n\in[-50,50]$. 此外，它应用汉明窗来减少吉布斯现象（参见上面的链接答案）。

freq然后使用等式计算给定频率值的频率响应

$$H(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]e^{-in\omega}.$$

现在，当我绘制这个（plt.plot线）时，我得到了我期望的幅度和相位响应：

mag (x 范围是 0 到$\omega$，我已将其标准化为 1)：

阶段：

但是，我计算了脉冲响应值$h[-50],h[-49],\ldots,h[50]$. 所以，这个过滤器不是因果的。我相信这个过滤器应该是时间不变的，所以我试图简单地改变它，以便$n$现在范围从 0 到$2N+1$. 这是调整后的freq功能：

def freq(w):
    return np.sum(
        [coeff(n - N) * np.exp(-1 * 1j * w * n) for n in range(0, 2 * N + 1)]
    )

这会产生相同的频率幅度响应，但具有以下“不正确”的相位响应：

我希望我误解了这个过程的一些基本内容，但我不确定是什么。我怎样才能使这个滤波器与所需的相位响应有因果关系？为什么我试图使滤波器因果保持正确的幅度响应而不是相位响应？