如果给定初始条件，则脉冲响应

信息处理 冲动反应 拉普拉斯变换 微分方程
2022-01-26 18:35:30

在大多数书籍中，LTI 系统的脉冲响应是通过假设初始静止条件来计算的，但是如果存在一些初始条件，如何计算脉冲输入的响应？

我的方法 - 首先计算零输入响应（仅使用给定的初始条件），然后假设零初始条件计算零状态响应（以脉冲为输入），然后将它们两者相加，我们得到总响应。

问题 但是我认为这种方法会给出错误的答案，因为由于脉冲输入，初始条件必须发生一些变化，所以我想知道

  1. 由于初始条件的变化，哪个方程会改变，零输入或零状态或两者兼而有之？

  2. 解决此类问题的最佳方法是什么？

  3. 通过使用拉普拉斯变换可以解决这个问题而不改变初始条件吗？

1个回答

你遇到这个问题的原因是因为系统的脉冲响应告诉你一些与系统从非零初始值开始时的行为有很大不同的东西——所以没有人费心在文献中处理这个问题。

问题但是我认为这种方法会给出错误的答案，因为由于脉冲输入，初始条件必须发生一些变化，所以我想知道

调和您看到的歧义的一种方法（通常，如果您对 Dirac delta 函数周围的细节感到沮丧和肮脏，您需要做的事情）是区分， , 和，其中和其中是微积分中著名的无穷小，它大于零但任意小。t=0t=0+t=0−0+=0+ϵ0−=0−ϵϵ

，狄拉克三角函数为零，为零，并且 - 严格来说 -未定义t<0−t>0+t=0

  • 由于初始条件的变化，哪个方程会改变，零输入或零状态或两者兼而有之？
  • 解决此类问题的最佳方法是什么？

通过对初始条件的含义进行一些对冲，您最初的想法——你可以只添加脉冲响应和初始条件下的系统行为——是正确的。

你通过回忆如果是未定义的，那么它的影响也是如此。因此，为了完全挑剔和技术性，脉冲响应仅定义为，而不是之前。δ(t)t=0t>0+

处指定初始条件来对冲初始条件语句。如果没有那个，系统在的状态将等于它在的状态，所以（在严格的工程水平上）这是可行的。t=0−δ(t)t=0+t=0−

指定这些详细信息后，您只需添加两个响应。

  • 通过使用拉普拉斯变换可以解决这个问题而不改变初始条件吗？

您可以使用拉普拉斯变换来帮助解决这个问题，但至少我被教导将初始条件插入拉普拉斯域解决方案的方法是使用 Delta 泛函及其导数。本质上，您正在做与我之前做的相同的事情，只是不是在，找到正确的权重等，以便您的系统状态与您在时的初始条件相匹配。t=0−δ(t)δ2(t)t=0+

然后添加脉冲响应，您只需添加额外的一次。效果将与您提出的解决方案相同。δ(t)

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