信息处理 - 时间缩放系统的脉冲响应 - 吾爱随笔录

信息处理傅里叶变换冲动反应缩放

2022-02-10 18:36:22

假设带限信号。假设这个信号的输出是，那么这样一个系统 $X(t)$ $X(t/2)$ $h(t)$

\begin{array}{l} X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t \\ Y (ω) = 2 X (2 ω) \end{array}

$\begin{array}{l} X( \omega ) \ =\ \int ^{\infty }_{-\infty } x( t) e ^{-j\omega t} dt \\ Y( \omega ) \ =2X( 2\omega )\\ \end{array}$

由于系统不会是 LTI，因此输出不会是输入和系统响应的卷积。我如何着手寻找这样一个系统的响应？解决方案方向的任何指导都将非常有帮助。

编辑：感谢所有答案，我已经重新构建了这个类似的问题。问题是这样的 -> 给定持续时间为 T 的输入脉冲，系统将其缩放为 2T 的脉冲，设计这样的系统？如果有人能指出正确的前进方向，那将是非常有帮助的。

2个回答

这样一个系统的输入输出关系可以写成

\begin{matrix} (1) & y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} δ (t / 2 - τ) x (τ) d τ \end{matrix}

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t/2-\tau)x(\tau)d\tau\tag{1}$

请注意，该系统是线性但随时间变化的，并且此类系统通常可以通过二维脉冲响应来描述： $h(t,\tau)$

\begin{matrix} (2) & y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (t, τ) x (τ) d τ \end{matrix}

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t,\tau)x(\tau)d\tau\tag{2}$

在给定的例子中，我们只是有

\begin{matrix} (3) & h (t, τ) = δ (t / 2 - τ) \end{matrix}

$h(t,\tau)=\delta(t/2-\tau)\tag{3}$

对于线性时不变 (LTI) 系统，仅取决于差。 $h(t,\tau)$ $t-\tau$

因为您有关于输出的傅立叶变换的信息，所以我建议您使用傅立叶变换本身的时频缩放属性来计算系统对任何输入。 $Y(\omega) = 2X(2\omega)$ $x(t)$

傅里叶变换的时频缩放表示：

x (a t) \leftrightarrow \frac{1}{| a |} X (\frac{ω}{a})

$x(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}X(\frac{\omega}{a})$

请注意，箭头是双面的，因此我们知道时域中任何输入的傅立叶逆变换。这里所以时域输出将由下式给出：。 $x(t)$ $Y(\omega)$ $a=\frac{1}{2}$ $y(t)$

y (t) = F^{- 1} {Y (ω)} = x (\frac{t}{2})

$y(t) = \mathcal F^{-1}\{Y(\omega)\} = x(\frac{t}{2})$

您可以使用输入和输出之间的这种关系来找到该系统的响应。

你不能称之为系统的脉冲响应。它只是给定系统的输入输出关系。但是，如果您可以将脉冲作为系统的输入，那么您将得到作为输出。 $y(t) = \delta(\frac{t}{2}) = 2\delta(t)$

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