对于连续时间非周期信号，连续时间傅里叶变换 (CTFT) 的对偶性如下

$$\mathscr{F}\Big\{x(t)\Big\} = X(f), \qquad\text{then} \quad \mathscr{F}\Big\{X(t)\Big\} = x(-f)$$

不满足狄利克雷条件，所以不能对其进行 CTFT 分析和综合。但是，只要我们愿意在其傅里叶变换方程中接受像狄拉克增量脉冲这样的奇点函数，我们仍然可以做到。$u(t)$

IE

$$\begin{align} \mathscr{F}\Big\{u(t)\Big\} &= \mathscr{F}\Big\{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\operatorname{sgn}(t) \Big\} \\ &= \frac{\delta(f)}{2} + \frac{1}{j2\pi f} \\ \end{align}$$

其中符号函数，

$$\operatorname{sgn}(t) \triangleq \begin{cases} -1 \qquad & t<0 \\ 0 \qquad & t=0 \\ +1 \qquad & t>0 \\ \end{cases}$$

但是，如果我将对偶属性应用于上述结果，那么我应该得到以下结果：

$$\begin{align} \mathscr{F}\Big\{\frac{\delta(t)}{2} + \frac{1}{j2\pi t}\Big\} &= u(-f) \\ &= \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\operatorname{sgn}(-f) \\ &= \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\operatorname{sgn}(f) \\ \end{align}$$

但是，当我至少阅读一些有关傅立叶变换的书籍时，我发现结果是而不是。问题是为什么？$u(f)$$u(-f)$