信息处理 - 非等间距/非均匀 DFT 带宽 - 吾爱随笔录

非等间距/非均匀 DFT 带宽

信息处理傅里叶变换自由度不均匀

2022-02-17 21:52:46

我需要构造非等间距数据的傅立叶变换。

也就是说，我有信号，在非等间距点，采样值。对于傅里叶变换，我使用积分的近似值：其中。作为频域中的采样点，我选择。 $s(t)$ $t\in[0,T]$ $t_k$ $k=0...N-1$ $s_k = s(t_k)$

\begin{matrix} (1) & \hat{S} (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} s (t) e^{- i ω t} d t \approx {\hat{S}}_{d} (ω) = \sum_{k = 0}^{N - 1} s_{k} e^{- i ω t_{k}} Δ t_{k} \end{matrix}

$\hat S(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty s(t)e^{-i\omega t}dt \approx \hat S_d(\omega) = \sum_{k=0}^{N-1}s_ke^{-i\omega t_k}\Delta t_k \tag{1}$

Δ t_{k} = (t_{k + 1} - t_{k - 1}) / 2

$\Delta t_k = (t_{k+1}-t_{k-1})/2$

ω_{n} = \frac{2 π}{T}

$\omega_n = \frac{2\pi}{T}$

我的问题是：因为我可以评估任何（1），什么是最大这样 “充分”代表？我可以使用的的最大对于 DFT，我们得到了奈奎斯特频率。NDFT 有类似的东西吗？任何参考将不胜感激。 $\omega$ $\omega$ $\hat S_d(\omega)$ $\hat S(\omega)$ $n$ $\omega_n$

注意：我知道诸如 NDFT 和 NFFT 之类的东西。尽管 NDFT 的公式，如大多数论文中所述，是我坚信我需要使用公式（1），因为我试图建立一个周期图。

{\hat{S}}_{d} (ω_{n}) = \sum_{k = 0}^{N - 1} s_{k} e^{- i ω_{n} t_{k}}

$\hat S_d(\omega_n) = \sum_{k=0}^{N-1}s_ke^{-i\omega_n t_k}$

而且我对计算 NDFT 的快速方法还不感兴趣，所以我不考虑 NFFT。

1个回答

你的公式不准确。由于您没有尝试速度并且在内部将数据点之间的插值视为步进/脉冲，因此公式应该是。

S (ω) = \sum_{n = 0}^{N - 1} s_{k} s i n c (\frac{ω △ (t_{k})}{2}) e^{- w t_{k}}

$S(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}s_{k}sinc(\frac{\omega\triangle\left(t_{k}\right)}{2})e^{-wt_{k}}$ 话虽如此，什么是“足够”？这或多或少是主观的。最初的 Nyquest 标准基于任何 (freq < sam/2) （我认为对此有一些小问题）都可以完美重建的结果；如果它和采样持续足够长的时间。它没有说明带外信号。但实际计算会显示混叠。
您应该生成您设想的信号和干扰，并通过您提出的算法运行它。另一种方法是将您的系统视为过滤器并尝试“反卷积”它。这是危险的，但可以做到。如需深入了解（有危险），请阅读“遥感和间接测量中的反演数学简介”SIAM。现在 MRI/CAT 扫描仪使用各种重建信号的方式。所有的数学家似乎都认为他们的技术成功是极端运气的一个例子。尽管我确信设计师可能会对此表示反对。不过，您可以尝试借用他们的一些数学技术。现在在一般仪器中，我们关注的是“噪声温度”等。这可以翻译为：您的系统信号/噪声（或信号/失真）与最佳数字之间的距离。如果你能得到最佳 S/N 值的 1db 以内，那么你可能应该放弃。当然，这意味着您可以计算最佳 S/N。在大多数仪器中，这是可以做到的，这个标准给你一个停止点；放弃并寻找其他事情要做:)

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