我试图理解为什么单位圆内有一个单极的系统是稳定的。例如，在处有一个极点的系统。文献称该系统是稳定的。作为一名对零极点图没有太多直觉的物理学专业学生，我首先尝试求解此传递函数所代表的微分方程：$z=\frac{1}{2}$

$\frac{Y(z)}{X(z)}=H(z)=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}$

哪一个，我重新写找到

$Y(z)\cdot\big(z-\frac{1}{2}\big)=X(z)\cdot z$

我将其转换为时域给予

$\dot{y}-\frac{1}{2}y=\dot{x}$

对于脉冲响应，所以我的方程的解看起来像$\dot{x}=\dot{\delta}(t)=0$

$y_{\delta}(t)=c_1e^{\frac{1}{2}t}$

这对我来说看起来很不稳定！

当然，我也尝试通过对传递函数进行长尾除法来做同样的事情，所以我得到了

$H(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n}z^{-n}$

这个的逆变换给出

$y_{\delta}(t)=2^{-t} = \big(\frac{1}{2}\big)^t$

我同意，这是一个稳定的系统。

我试过到处找，但我还没有找到一个如何从微分方程到稳定系统的例子。我已经看到其他一些问题的答案包括“看看特征方程，当时系统是稳定的。我想我不同意 - 因为只会是稳定的对于负。$\lambda < 1$$e^{\lambda t}$$\lambda$

我错过了什么？