一个简单的界限就是样本 的数量。事实上，对于 那么显然：

$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-2i\pi kn/N}$$

$$|X_k| \le \sum_{n=0}^{N-1} \left|x[n]\right|\left|e^{-2i\pi kn/N}\right|$$ 因此 如果。当您选择复数界限是 s 。如果您的输入允许恒定信号（等于一），那么对于第零频率即可实现。作为旁注，如果信号长度是的幂，这非常方便。 $$|X_k| \le \sum_{n=0}^{N-1} \left|x[n]\right|\le N$$ $-1\le x[n]\le 1$$N$$k$$x[n]=\overline{e^{-2i\pi kn/N}} = e^{2i\pi kn/N}$$x[n]=1$$X_0 = \sum_{n=0}^{N-1} 1 = N$$2$

对于更受限制的输入，例如真实的零平均信号，可能会有更严格的界限。最近在 SampTA 2017 上发表的一篇论文提供了一些随机序列 (Bernoulli) 的 DFT 边界：随机掩码的离散傅里叶变换边界（已发布版本）。

DFT 系数的绝对值的上界可以推导出如下：

$$|X[k]|=\left|\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N}\right|\le \sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|\le N$$

如果我们假设成立。对于大多数实际信号，这个界限不是很紧。$|x[n]|\le 1$

Parseval 定理指出，DFT 输出中的能量与输入能量成正比。该比例因子取决于您如何定义 DFT（是否除以长度、长度的平方根或根本不除）。

对于 DFT（尤其是 FFT）的所有实际实现，我们不进行标准化。因此，例如，如果你变换一个 长度为，你也会在输出端$(1,\quad1,\quad1,\quad1,\quad1,\ldots)$$N$$N\cdot 1$

这是我能想到的最简单的例子，但它也是回答你问题的例子：拿那个 DFT。除了 DC 载波，它是所有输入元素的总和，它在任何地方都必然为 0。

因此，也就是说，就像您的余弦适合您的 DFT 示例一样，一个将所有能量集中到单个箱中的示例，因此对于相同功率的任何给定输入产生最高可能的输出箱。

缩放该输入，您将获得作为输出。完成：所有元素的输入允许的最大输出。现在，线性适用，所以如果你输入，你会在一个输出箱中因此，如果您的输入实部和虚部都被限制为绝对小于或等于是您可以获得的输出的最大实部和虚部。$A$$A\cdot N$$A + 0j$$AN$$A+Aj$$AN+ANj$$AN$$A$