您可以通过使用按部分集成来看到这一点：

$$\begin{align}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta'(t-T)dt&=x(t)\delta(t-T){\Big|}_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}x'(t)\delta(t-T)dt\\&=x(T)\delta(t-T){\Big|}_{-\infty}^{\infty}-x'(T)\\&=-x'(T)\end{align}$$

其中假设和处是连续的。$x(t)$$x'(t)$$t=T$

证明来自狄拉克三角函数属性：

$$\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta^{(n)}(t-t_0)dt=(-1)^{n}\frac{d^n}{dt^n}x(t)\bigg\vert_{t=t_0} \end{align}$$

其中是时间的连续函数，在处具有连续导数。$x(t)$$t= t_0$

使用诸如 delta 函数及其衍生物之类的东西的主要思想是，它们实际上不是函数，而是具有某种行为的理想化。

的行为在将其乘积与另一个函数集成时出现：然后它选择单个函数值。$\delta(t)$

与此类似，的行为是通过按部分积分直到的行为表面而得出的。只要您可以避免在一个共同的奇点处处理两个这样的事情的乘积，这就是有效的：在这种情况下，由于可能导致许多可能或不可能的行为，因此事物往往会分崩离析。$\delta'(t)$$\delta(t)$