只需更改变量：

$$\begin{align} z(t) &= x\star y \big|_{t}\\ &=\int_{\tau=-\infty}^{\tau = \infty} x(\tau)y(t-\tau) \,\mathrm d\tau &\scriptstyle{\text{Set}~\tau=-\lambda, \mathrm d\tau=-\mathrm d\lambda} \tag{1}\\ &=-\int_{-\lambda=-\infty}^{-\lambda = \infty} x(-\lambda)y(t+\lambda) \,\mathrm d\lambda &\scriptstyle{\text{Now remember that}~ x~\text{and}~y ~\text{are even functions}}\\ &=\int_{\lambda=-\infty}^{\lambda=\infty} x(\lambda)y((-t)-\lambda) \,\mathrm d\lambda &\scriptstyle{\text{Same as (1) except with }\lambda~\text{instead of }\tau ~\text{and with}~-t}\\ &= z(-t)\end{align}$$ 没有提到 LTI 系统。

对于更 DSPish 的证明，考虑时间的实值偶函数的傅里叶变换是频率的实值偶函数，因此如果和都是实值偶的函数，那么也是 f 的实值偶函数，意味着是的实值偶和是 t 的实值偶。$t$$f$$X(f)$$Y(f)$$f$$Z(f) =X(f)Y(f)$$f$$z = x\star y$$t$$x(t)$$y(t)$$t$

这在频域中可能要容易得多。像这样的东西：

1. 时间上的偶数（和实数）函数转换为频率上的实数函数（反之亦然）
2. 时域中的卷积等价于频域中的乘法
3. 两个实函数相乘是一个实函数
4. 实函数的逆变换是偶数。

鉴于输入$x(t)$和脉冲响应$h(t)$线性时不变系统的都是偶函数，输出$y(t)$是（谁）给的

$$y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$$ 为了证明输出是偶数，必须证明$y(t)=y(-t)$. $$y(-t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(-t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(-(t+\tau))d\tau$$ 自从$h(t)$甚至 $$y(-t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(\tau+t)d\tau$$ 这个输出对应于一个输入$x(-t)$因为通过系统的线性时不变性，它将是 $$\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(\tau+t)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}x(-t)\delta(\tau+t)d\tau=x(-t)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau+t)d\tau=x(-t)$$

所以输出$y(-t)$由输入给出$x(-t)$， 但$x(-t)=x(t)$. 这个意思$y(-t)=y(t)$. 偶数输入到具有偶脉冲响应的线性时不变系统的输出也是偶数。