记住 delta 函数的定义：它集成$1$在整个 t 轴上，但对于任何一个都为零$t\neq 0$. 这意味着如果我们将任何函数乘以$\delta (t)$, 那么函数在任何地方都将为零，除了$t=0$. 在这种情况下，我们有

$$\delta (t-nT)e^{-st}= \left\{ \begin{array}{ll} \delta (t-nT)e^{-snT} & \mbox{if } t = nT \\ 0 & \mbox{if } t\neq nT \end{array} \right.$$

所以如果我们积分这个函数，我们有积分为零的每个点，除了$t=nT$. 所以

$$\int_0^\infty \delta (t-nT)e^{-st}dt=\int_0^\infty \delta (t-nT)e^{-snT}dt=e^{-snT}\int_0^\infty \delta (t-nT)dt$$

但根据定义，

$$\int_0^\infty \delta (t-nT)dt=\int_{-\infty}^\infty \delta (t-nT)dt=1$$

所以

$$\int_0^\infty \delta (t-nT)e^{-st}dt=e^{-snT}$$

旁注：要做到这一点，$n$必须是积极的。如果它是负数，那么积分将是$0$（因为积分内的函数对于所有积分间隔都为零）。

$\delta(t)$是一种无限细和无限高的冲动。它下面的面积是1。$\delta(t - nT)$把冲动放在时间$nT$.

现在，在您的情况下，这正乘以某个函数$e^{-st}$并且该产品是集成的。

整合只是一个美化的总和。数学家试图通过使用特殊符号将其伪装成奇特的东西，但最终它实际上只是普通的旧加法。什么是积分？要在给定范围内积分的函数值。

积分的结果是函数图下的面积。$\delta(t - nT)$面积为 1 并且非常薄，可以认为它只存在于一个位置（$nT$) 并且在其他地方为 0。有点像直方图中代表一个值的矩形，但很薄，几乎可以在时装周上使用。

将函数乘以标量值基本上意味着缩放函数（沿 y 轴拉伸）。您有一个面积为 1 的矩形，并按一个因子缩放一个维度。这个因子是你乘以它的函数的值：$e^{-st}$并且在脉冲发生时评估该值：$nT$, 所以矩形的面积是$1 \cdot e^{-snT}$，这是积分的结果。

如果您一直在使用嵌入式系统进行编程，您可能熟悉如何使用位运算符屏蔽单个位：

  0101100101110
& 0000000100000
---------------
  0000000100000

您可以将脉冲视为屏蔽函数的所有值的单个位，除了其位置处的单个值。

$$\int^\infty _{0^-}\delta(t-nT)e^{-st}dt = e^{-nsT}$$

只是一种特殊形式

$$\int^{+\infty}_{-\infty}\delta(t-T)f(t)~dt = f(T)$$

有时被称为

筛选属性或采样属性。据说 delta 函数可以“筛选”值$t = T$.