“单位脉冲”是一个通用术语，根据上下文，指的是以下分布之一：

• 连续域的狄拉克 delta 分布，记为$\delta(t)$
• Kronecker delta，有时表示为，用于离散域$\delta[k]$

它们都被称为“单位脉冲”，因为它们都表示系统对短“脉冲”输入的响应，并且具有在连续域和离散域之间转换的相似属性，例如筛选属性： for Dirac delta and 为克罗内克三角洲。

$$f(t_0) = \int_{-\infty}^\infty \delta(t - t_0) f(t) dt$$ $$f[k_0] = \sum_{k = -\infty}^\infty \delta[k - k_0] f_k$$

Dirac delta是一个连续参数（广义）函数，其中是一个连续变量，可以是时间、空间、频率等。不幸的是，一个简单的定义如$\delta(x)$$x$

$$\delta(x) = \begin{cases} \infty ~~~&,~~~ x=0 \\ 0 ~~~&,~~~ x \neq 0 \end{cases}$$

可以或不能正确描述其行为。您需要在积分符号下定义其属性，这需要高级数学知识来进行形式验证。的简化黎曼定义如下：$\delta(x)$

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a) dx = f(a)$$ 对于足够平滑的测试函数。的所有性质都来自这个黎曼（看似）积分运算。$f(x)$$\delta(x)$

另一方面，离散对应物，单位脉冲或克罗内克三角洲是整数索引的序列，具有非常明确的行为：$m$

$$\delta[m] = \begin{cases} 1 ~~~&,~~~ m=0 \\ 0 ~~~&,~~~ m \neq 0 \end{cases}$$ 这两个函数的作用相同对于离散和连续系统，因此具有相同的名称脉冲。然而，它们是两个不同的、截然不同的实体。狄拉克脉冲是一个非常有问题的概念，而离散脉冲只是一个简单的概念。

在

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function#Definitions

给出一个松散的定义

$$\delta(x)=\begin{cases} +\infty & x=0 \\ 0 & x\ne0 \end{cases}$$ 所以也许咬你的头有点严重。我不打算扔掉维基百科。

本文的其余部分以及 https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta 回答了您的大部分问题

狄拉克 Delta 函数和单位脉冲函数是一样的。但许多文本定义 但我认为这个定义并不完美。因为是没有定义的东西。一个人怎么能插入一些没有被定义为定义的典型部分的东西呢？所以我认为 Simon Haykins 对它的定义是完美的：$\delta(t) = \left \lbrace \begin{array}{lr} \infty, \hspace{0.5cm} t=0 \\ 0, \hspace{0.5cm} else \ \end{array} \right .$$\infty$

$\delta(t) = 0 \hspace{0.5cm} for \hspace{0.5cm} t \neq 0$ 和$\int_ \limits{-\infty}^{+\infty}\delta (t)dt = 1$