信息处理 - 关于功率谱密度的说明 - 吾爱随笔录

信息处理功率谱密度

2022-02-15 04:48:20

许多信号处理方面的书籍，例如 Papoulis [1]，将功率谱密度 (PSD) 定义为：

S (ω) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} R_{x x} (k) e^{- j ω k}

$S(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_{xx}(k)e^{-j\omega k}$

这是相关函数的傅立叶变换：

R_{x x} (τ) = E [x (t) x (t - τ)]

$R_{xx}(\tau)=E[x(t)x(t-\tau)]$

然而，一些作者在时间序列分析的背景下，例如 Jenkins [2] 将其定义为：

Γ_{x x} (ω) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} γ_{x x} (k) e^{- j ω k}

$\Gamma_{xx}(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\gamma_{xx}(k)e^{-j\omega k}$

这是协方差函数的傅立叶变换：

γ_{x x} (τ) = Cov [x (t) x (t - τ)] = E [x (t) x (t - τ)] - E [x (t)] E [x (t - τ)]

$\gamma_{xx}(\tau)=\hbox{Cov}[x(t)x(t-\tau)]=E[x(t)x(t-\tau)]-E[x(t)]E[x(t-\tau)]$

据我了解，Wiener-Khinchin 定理认为 $R_{xx}(\tau)$

有人可以澄清为什么 $\Gamma_{xx}(\omega)$ 是 PSD 的有效定义。

[1] Papoulis, A. (1965)。概率、随机变量和随机过程。

[2] 詹金斯，G。瓦特，D. (1968)，光谱分析及其应用

2个回答

考虑到您使用的是 PSD 而不是 BiSpectra 隐含地强加您假设您的过程是 WSS（您只考虑样本之间的延迟，而不是它们关于时间来源的绝对时间）。

考虑到 WSS 假设，您的过程的整体平均值是恒定的，并且不会随时间变化（E[x(t)]=Constant）。因此，协方差和自相关之间的唯一区别是直流偏置，它只会影响 PSD 的直流分量，因此对于零均值过程（E[x(t)]=0)，这些之间不会有任何区别定义。

考虑到 PSD 的实际估计，PSD 中总是存在很大的 DC 分量，它总是泄漏到其他频率并将它们屏蔽掉。所以在实践中，他们通常会去除直流分量（从过程中去除直流偏置，然后计算 PSD）。

我还没有看到 Jenkins 的上下文，但对于零均值WSS 随机过程，自相关函数和自协方差函数将相同，因此当均值为零时，您可以使用任何一个定义。

对于非零平均过程，请参阅 Papoulis 3ed 的 p.321 中的自相关和自协方差函数之间的关系。(eq. 10.125) ，即

S (ω) = S^{c} (ω) + 2 π η^{2} δ (ω)

$S(\omega) = S^c(\omega) + 2\pi \eta^2\delta(\omega)$

在哪里 $S(\omega)$ 是极光相关函数和 $S^c(\omega)$ 是自协方差函数和 $\eta$ 是 WSS 随机过程的平均值。

请注意，自协方差定义将始终通过减去其平均值来处理随机过程。

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