自己在 Coursera 上学习 DSP。

证明了为什么傅立叶基是正交的，但我无法弄清楚。这是证明的方式。

考虑傅里叶基

$$\left\lbrace \mathbf w^{(k)} \right\rbrace_{k=0,...,N−1}$$

定义为：

$$\mathbf w^{(k)}_n = e^{−j\frac{2\pi}{N} nk}$$

让我们计算内积，即

$$\begin{align} <\mathbf w^{(k)}, \mathbf w^{(h)} > &= \sum_{n=0}^{N-1} \mathbf w^{*(k)}[n] \mathbf w^{(h)}[n]\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} e^{j\frac{2\pi}{N} nk} e^{−j\frac{2\pi}{N} nh}\\ & = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\frac{2\pi}{N} n (h-k)}\\ &= \begin{cases} N & \text{if}\quad k=h\\[2ex] 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}$$

我确实理解除了最后一步之外的所有推导。如何得出当内积为的结论。将不胜感激任何帮助。$k\neq h$$0$