如果前馈部分的 Z 变换可以被反馈部分的 Z 变换整除，则滤波器为 FIR。

考虑你的例子：$y[n] = y[n-1] + x[n] - x[n-3]$.

Z变换是$\mathrm Y(z)- z^{-1}\mathrm Y(z) = \mathrm X(z) - z^{-3}\mathrm X(z)$，响应的 Z 变换为$\mathrm H(z) = \mathrm Y(z)/\mathrm X(z) = (1 - z^{-3})/(1 - z^{-1}) = 1 + z^{-1} + z^{-2}$. 这意味着滤波器可以实现为$\mathrm y[n] = \mathrm x[n] + \mathrm x[n-1] + \mathrm x[n-2]$，这显然是 FIR。

据我所知，除非你想要对滤波器进行深入的哲学分析，否则 FIR/IIR 滤波器或差分方程之间绝对没有工作区别，因为滤波器“总是”有一个相关的差分方程，你可以写。

话虽如此，如果你随机拿起一张写有差分方程的纸，你不能自动说“哦，他们在这里使用滤波器和信号处理”，因为差分方程用于很多您甚至不处理信号的其他应用程序。以及方程的解（给定初始条件或输入$X[n]$) 可能意味着与过滤器的输出完全不同的东西。