您可以使用累积求和实现非常有效的高阶低通滤波器。理论如下。完美积分器具有递归定义

$$y[n] = y[n-1]+x[n]$$

如果您将输出的延迟差设为

$$y'[n] = y[n] - y[n-d]$$

您正在实现一个长度为的 boxcar 过滤器，这可以从显式解析 ]中的递归中看出：$d-1$$y[n]$$y'[n]$

$$y'[n] = (y[n-1]+x[n]) - y[n-d]$$

$$y'[n] = ((y[n-2] + x[n-1]) + x[n]) - y[n-d]$$

$$\dots$$

$$y'[n] = y[n-d] + \sum_{k=1}^{d-1}x[n-k] - y[n-d] = \sum_{k=1}^{d-1}x[n-k]$$

这意味着您有一个有效阶的低通滤波器，每个样本只需一次加法和一次减法。$d-1$

当然，棚车只在一定程度上有用。但同样的想法可以推广 到更大类别的滤波器，并在滤波器形状和计算量之间进行权衡。这是通过连接几个积分差分级来完成的。

两个串联将产生三角形脉冲响应，三个将产生抛物线响应，依此类推。每个阶段都将输出与另一个 boxcar 进行卷积。在频域中，原始 sinc() 形状的响应取 n 次方（或者，如果不同阶段的延迟长度不同，则乘以其他不同比例的 sinc）。

但是时域和频域中的响应序列都表现得非常可预测，因为统计的中心极限定理预测时域响应很快接近高斯分布。并且因为高斯的傅里叶变换也是高斯的，所以只需几个阶段，您就可以很好地近似高斯频率响应低通滤波器。

关于数值精度的一个注释。因为您正在积分，延迟缓冲区的内容可能会变得非常大，并且差异精度会受到影响。这可以通过使积分器泄漏来解决，这样它就不会将常数函数累积到无穷大。泄漏积分器差分方程为

$$y[n] = (1-\epsilon) y[n-1] + x[n]$$

对于一些足够小的正。$\epsilon$

取决于您对低通滤波器的要求。对于任何需要陡峭的东西，IIR 滤波器都是不错的选择。通常，您使用椭圆滤波器获得最低阶数：您可以权衡通带纹波、阻带衰减和陡度。假设您想要一个音频（采样率 = 44100 Hz）滤波器，它在 1kHz 时下降不超过 1 dB，但在 2 kHz 及以上时下降不超过 60 dB。使用大约需要 11 阶的巴特沃斯。您可以使用 5 阶椭圆滤波器获得相同的结果。将通带纹波降低到 0.1dB 会将椭圆阶数增加到 6。