请注意，在满足2t-1=0时，即在t=\frac12处，时标和移位的狄拉克增量脉冲$\delta(2t-1)$是非零的。它的面积确实是\frac12因为我们有$2t-1=0$$t=\frac12$$\frac12$

$$\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)\tag{1}$$

所以对于你的例子，你得到

$$\delta(2t-1)=\frac12\delta\left(t-\frac12\right)\tag{2}$$

对于经典函数，您确实可以移动和拉伸来表示它们。但是，只要您在积分符号下与另一个函数进行比较，例如卷积或相关，就应该更好地考虑拉伸。$\sigma$

所谓的狄拉克函数不是函数。它通常被定义为函数上的运算符，例如：$\delta$

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)\mathrm{d}t = f(t_0)$$

所以我们可以暂时忘记时间转换。问题在于一些缩放。计算时：$\alpha>0$

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(\alpha t)\mathrm{d}t$$

变量的变化产生：$u\mapsto \alpha t$

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(u/\alpha)\frac{1}{\alpha}\delta( u)\mathrm{d}u$$

因此，正式地，，对于这种转变，请参见马特的回答。$\delta(\alpha t)= \frac{1}{\alpha}\delta( t)$

无需像 Matt L. 的回答那样记住关于狄拉克三角洲（又名冲动）的公式，这里是如何进行的。对于普通的日常使用，脉冲由它们在积分中所做的定义，特别是对于和， 并且可以使用积分中变量变化的标准规则来操纵 诸如因此，当时， $a<0$$b>0$

$$\int_a^b f(t)\delta(t) \, \mathrm dt = f(0) ~ \text{provided that} ~f~ \text{is continuous at} ~t=0 \tag{1}$$ $(1)$$\alpha > 0$ $$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty f(t)\delta(\alpha t + \beta) \, \mathrm dt &= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\alpha}f\left(\frac{\tau-\beta}{\alpha}\right)\delta(\tau) \, \mathrm d\tau &{\scriptstyle{\text{set}~\alpha t+\beta = \tau,~ \mathrm dt = \mathrm d\tau/\alpha}}\\ &= \frac{1}{\alpha}f\left(\frac{-\beta}{\alpha}\right) \tag{2} \end{align}$$ 在 OP 的问题中，给出 可以用冲量表示为 与其他答案一样，但我总是更喜欢从头开始计算，而不是依赖老化的记忆。$\alpha = 2, \beta=-1$ $$\int_{-\infty}^\infty f(t)\delta(2t -1) \, \mathrm dt = \frac 12 f\left(\frac 12\right),$$ $$\delta(2t-1) = \frac 12 \delta\left(t-\frac 12\right)$$