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压缩采样中信号的数学模型

信息处理信号分析傅里叶变换连续信号傅里叶级数压缩传感

2022-02-17 20:45:29

目前我正在阅读一篇关于压缩采样的论文，并试图理解它的每一个部分。当我在论文中看到信号的数学模型时，我感到很困惑。为了您的方便，我已经提到了纸张的部分

考虑以下一类离散多音信号的数学模型。让 $W/2$ 是超过连续时间信号中出现的最高频率的正整数 $f$ . 修正一个号码 $K$ 代表活跃的音调。该模型包含以下形式的每个信号

f (t) = \sum_{ω \in Ω} a_{ω} e^{- 2 π i ω t}, f o r t \in [0, 1)

$f(t)=\sum_{\omega \in \Omega} a_{\omega} e^{-2\pi i \omega t},\hspace{5mm} for \hspace{2mm} t \in [0,1)$ 这里，

Ω

$\Omega$ 是一组

K

$K$ 整数值频率，满足

Ω \subset {0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm (W / 2 - 1), W / 2}

$\Omega \subset \left \lbrace 0, \pm 1 , \pm 2, \ldots , \pm (W/2-1),W/2\right \rbrace$ 和

{a_{ω} : ω \in Ω}

$\left\lbrace a_{\omega}:\omega \in \Omega\right\rbrace$ 是一组复值幅度。我们专注于数字的情况

K

$K$ 活动音的数量远小于可用带宽

W

$W$ .

现在我的问题是：

我认为应该有 $\pm W/2$ 在集合中 $\Omega$ .
信号模型是否同时考虑单个信号中频率的正负值？
会有什么信号 $f(t)$ 什么时候 $\Omega = \left\lbrace 0, \pm1, \pm2\right\rbrace$ ?

谢谢。

1个回答

该模型是信号的傅里叶级数，直到 W/2th 分量，具有稀疏系数。也就是说，大部分集合 $\{a_k\}_{k=-W/2}^{W/2}$ 为零。

这是因为信号是带限的，因此对于真实信号， $a_{W/2}$ 将是真实的。但是，如果不满足此约束，则最好使用 $\pm W/2$
对于实值信号，负频率系数只是正频率系数的共轭。它实际上只是一个数学工件。您也可以将模型编写为

f (t) = \sum_{ω \in Ω} b_{w} \cos (2 π ω + ϕ_{ω})

$f(t) = \sum_{\omega\in\Omega} b_w \cos(2\pi \omega + \phi_\omega)$

在哪里 $b_\omega$ 是真实的并且 $\phi_\omega \in [0,2\pi)$ 是一个真实的相位值。

也就是说，该模型将信号表示为不同幅度和相位的正弦曲线的总和。

它将是仅使用前两个频率的信号的傅里叶级数近似。

你应该看看这篇论文和示例代码：

迈向超分辨率的数学理论

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