信息处理 - 离散时间正弦信号的性质 - 吾爱随笔录

信息处理离散信号

2022-02-10 21:35:04

我正在读一本书，以下是离散时间正弦信号的属性：

性质 1. 频率间隔为 2 的整数倍的离散时间正弦曲线 $\pi$ 是相同的。

性质 2. 离散时间正弦序列的振荡频率随着增加 $\omega$ 从 0 增加到 $\pi$ . 如果 $\omega$ 从增加 $\pi$ 到 2 $\pi$ 然后振荡频率降低。

我能够理解上述两个属性的数学属性实现，但有一些基本问题需要澄清：

上述属性是否适用于所有离散时间周期信号？
根据属性 1 - 如果两个正弦信号的频率间隔为 2 的整数倍 $\pi$ - 那么频率较高的信号将比其他信号具有更多的周期。那他们怎么能一样呢？
根据属性 2 - “振荡频率”是什么意思？信号的频率如何从 0 变化（增加）到 $\pi$ 和（减少）从 $\pi$ 到 2 $\pi$ - 是不是应该从 0 到 $2\pi$ ?

1个回答

任何具有周期的离散时间周期信号 $N$ 可以写成它的 DFT 系数 $X_k$ ：

x (n) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X_{k} e^{j (2 π / N) n k}

$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_ke^{j(2\pi/N) nk}$

因此，对于单个正弦曲线（或复指数）而言，对于一般周期性信号而言，无论是正确的还是正确的。

频率间隔为的两个离散时间正弦曲线 $2\pi k$ 是相同的，因为正弦函数是周期性的 $2\pi$ ：

x (n) = \sin (ω n) y (n) = \sin [(ω + 2 π k) n] = \sin (ω n + 2 π k n) = \sin (ω n) = x (n)

$x(n)=\sin(\omega n)\\ y(n)=\sin[(\omega+2\pi k)n]=\sin(\omega n +2\pi k n)=\sin(\omega n)=x(n)$

最后，离散时间正弦曲线（因此对于任何离散时间信号）的最大频率是 $\omega=\pi$ ：

\cos (π n) = (- 1)^{n}

$\cos(\pi n)=(-1)^n$

如果频率进一步增加，您将观察到混叠：

\cos [(π + Δ ω) n] = \cos [(π + Δ ω) n - 2 π n] = \cos [(Δ ω - π) n] = = \cos [(π - Δ ω) n], 0 \leq Δ ω \leq π

$\cos[(\pi+\Delta\omega)n]=\cos[(\pi+\Delta\omega)n-2\pi n]=\cos[(\Delta\omega-\pi)n]=\\=\cos[(\pi-\Delta\omega)n],\quad 0\le\Delta\omega\le\pi$

所以从最大频率 $\pi$ 你的频率降低到频率 $0$ （为了 $\Delta\omega=\pi$ ）。

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