关于离散系统的稳定性和因果性

信息处理 离散信号 z变换 稳定 因果关系
2022-02-10 01:35:33

在麻省理工学院的公开课程中，给出了一个带有两个问题的简单练习。在第一部分，他们质疑以下离散系统的性质：

y[n]=x[n]+0.5y[n−1]−2y[n−2]

答案指出，由于没有给出初始条件，因此无法确定以下任何属性：稳定性、因果关系、线性、时间（不）方差。

我倾向于说系统处于 LTI，因为系数是恒定的，并且输出只是由与自身和输入的递归关系定义的。两个极点都在单位圆内，如果是因果关系，系统应该是稳定的，因为 ROC 包括单位圆。

  1. 因此，我的第一个问题是：您能否提供一个（n）个初始条件示例（或任何关于该问题的论点），以便系统是：时间变体或不稳定或非因果或非线性？我能想到的唯一可能使其表现异常的条件是极端条件，例如 +/- 无穷大。我认为这不是最初问题的意图。

接下来，给出以下传递函数（与上述问题无关）：

H(ejω)=1−2e−jω(1−34e−jω)(1−3e−jω)

这里还询问了它的属性。在最后的答案中，他们指出，给定传递函数，可以暗示系统是线性的和时不变的。到现在为止还挺好。然而，接下来，它指出系统既稳定又不因果，并具有以下论点：

...进一步，从频率响应的存在可以得出结论，频率响应收敛在单位圆上，即系统是稳定的。鉴于系统是稳定的，收敛区域也隐含在一个双边序列中，这意味着脉冲响应不是因果关系。

因此我的第二个问题：

  1. 鉴于没有 ROC 约束，如何从这个传递函数得出结论？

提前致谢。

2个回答

对于您的第一个问题，如果我们的初始静止条件为零，则线性系统是因果关系。这是一个充分必要条件。此属性不需要时间不变性

稳定性是系统响应的绝对可和性的结果。它不依赖于初始条件（当然必须是有限的才能有意义）。

对于第二个问题，传递函数在 z=3 处有一个极点，并且假设系统是稳定的。这意味着中华民国必须包括单位圆。这意味着 ROC 在 z = 3 处位于极点的左侧，因为 ROC 位于最外极点的左侧，因此系统不是因果关系

关于你的第一个问题，系统的极点不在单位圆内（两个极点的半径均为2)，所以系统不可能是因果稳定的。如果初始条件不为零，则系统既不是线性的也不是时不变的。解释很简单：输出信号由一个由输入信号（显然还有系统属性）决定的项和另一个与输入信号无关的项组成。后一项由初始条件决定。因此，如果我们按比例缩放输入或及时移动它，那部分输出将保持不变。但是，线性和时不变系统的输出必须随输入信号缩放和偏移。所以我们可以得出结论——根据书中使用的定义——如果初始条件不为零，则系统不可能是线性的和时变的。

关于第二个例子，由于频率响应（脉冲响应的傅立叶变换）作为有理函数存在，因此定义暗示了稳定性。这Z- 脉冲响应的变换（即系统的传递函数）简单地通过替换获得ejω经过z. 从传递函数可以看出，系统在z=34并且在z=3. 显然，ROC 必须是这两个极点之间的环形空间（因为稳定性必须包括单位圆）。ROC 的这种形状意味着逆变换（即脉冲响应）是一个双向序列，因此是非因果序列。

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