假设系统有如下输入/输出关系

$$\sum_{k=0}^{N}a_k \frac{d^ky(t)}{dt^k} = \sum_{k=0}^{M}b_k \frac{d^kx(t)}{dt^k}$$

在哪里$a_k, b_k \in \mathbb{R}$.

显然，我们需要额外的条件来完全确定系统的输入输出关系，而这些辅助条件指定系统是否是 LTI 和因果关系。

一般而言，系统的初始静止条件的定义是，如果$x(t) = 0$为了$t\lt t_0$然后$y(t) = 0$为了$t\lt t_0$.

首先，所有系统的初始静止条件是否意味着$y(t_0) = 0$? 我也看到过类似的表达$y({t_0}^+)$和$y({t_0}^-)$但我不知道它们有什么关系$y(t_0)$. 另一个问题是，初始静止条件对于上述系统是否是因果关系和 LTI 的充分必要条件？那么严格的证明是什么呢？我在互联网上搜索但没有找到证据或明确的解释。