连续小波分析（Mexican hat 或Morlet 小波，后者只是近似或复高斯小波）与离散小波变换 (DWT) 的形式和构造之间存在巨大差距。让我们长话短说。

连续小波变换 (CWT) 取决于连续小波$\psi$, 对于任何 (nice) 函数$f(x)$可以表示为（或分析）加权 ($c_{a,b}$) 平移和膨胀的总和 $\psi\left(\frac{x-b}{a}\right)$. 合成公式是否等于$f(x)$需要$\psi$满足 适度 温和 的接纳 条件.

然后出现了一个问题：我们如何将上述所有内容离散化以获得易于处理的算法？换句话说，有没有$a_0$和$b_0$这样投影到可枚举系列上

和$j$和$k$整数仍然可以是完美的吗？答案是肯定的，前提是$a_0b_0 < C_\psi$, 一个常数取决于$\psi$（这是 Pauli-Heisenberg-Gabor 不等式之王，Ingrid Daubechies，1984 年的结果）。这变成了一个小波框架：一组冗余的向量，可以准确地恢复信号。

现在，使用 DWT，我们需要一个基础，即非冗余帧。保持初始数据大小的东西。从上面的谐波分析技术中，如果你选择一个可接受的小波，从它推导出基的可能性很小。Haar 或 Frankling 基是已知的例子，Yves Meyer 在 1985 年推导出了一个重要的例子，即 Meyer 基。

为了构建离散小波基，发现需要一种更有效的方法。在离散空间上，作为给定的分辨率，除了存在来自平移缩放函数或父小波的正交模板的正交基之外。然后，你嵌入了不同的分辨率，你得到了一个 2 尺度的线性方程链接 $\psi(t)$和$\psi(t/2)$. 使用正交投影，您可以构建另一个 2 尺度线性方程，以连接不同膨胀的母小波。这些等式告诉您，您可以通过卷积和二次采样来实现上述内容。因此，尺度之间存在多项式关系。求解这样的非线性方程会产生一系列权重/线性系数，提供离散小波的层次结构，插入形式主义，是真正的 CWT。但是，在大多数情况下，它们没有像 Gaussians 或 Morlet 这样的很好的封闭公式。后者又没有离散的对应物。

在 Stéphane Mallat “小波之旅”中，关于稀疏表示的第一章说：

连续与离散和有限最初，许多信号处理工程师想知道将小波和信号视为函数的意义何在，因为所有计算都是使用共轭镜像滤波器在离散信号上执行的。如果在实践中，为什么要为无限卷积级联的收敛而烦恼我们只计算有限数量的卷积？为了理解为什么本书在连续时间函数定理和应用于有限序列的离散算法之间交替出现，回答这些重要问题是必要的。一个简短的回答是“简单”。在 L2(R) 中，小波基是通过膨胀和平移单个函数来构造的$\psi$. 几个重要的定理将小波系数的幅度与信号的局部规律性联系起来$f$. 离散序列上没有定义膨胀，因此离散小波基的描述更加复杂。离散序列的规律性也没有很好地定义，这使得解释小波系数的幅度更加困难。连续时间函数理论给出了采样间隔减小到零的离散序列的渐近结果。该理论很有用，因为这些渐近结果足够精确，可以理解离散算法的行为。但是连续时间或空间模型不足以详细说明离散信号处理算法。必须非常小心地完成连续信号和离散信号之间的转换，以保持正交性等重要属性。由于边界问题，将构造限制为有限离散信号会增加另一层复杂性。一旦彻底了解了基础的属性，就会仔细解决这些边界问题如何影响数值实现的问题。