积分

$$\int\limits_{-a}^{a} \delta(x) \, \mathrm{d}x = 1 \qquad \forall a>0$$

但这个积分

$$\int\limits_{-a}^{a} g(x) \, \mathrm{d}x = 0 \qquad \forall a>0$$

在哪里

$$g(x) = \begin{cases} 1 \qquad & \text{for } x=0 \\ 0 \qquad & \text{for } x\ne0 \\ \end{cases}$$

这就是为什么我们需要这个 dirac delta 的采样或筛选属性：

积分

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta(x-x_0) \, \mathrm{d}x = f(x_0)$$

但这个积分

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \, g(x-x_0) \, \mathrm{d}x = 0$$

你能看出使用进行采样有什么问题吗？$g(x)$

狄拉克梳用于在连续时间域中进行采样，同时保持连续时间观点。这有点棘手，因为作为一个窗口函数，它们不应该查看除整数参数之外的任何值，但保留连续时间视点也意味着您希望使用积分变换（如傅立叶变换）处理结果。单个点对积分没有影响。因此，狄拉克函数或多或少由其在积分下的行为定义，当积分区间中包含狄拉克脉冲的位置时，积分“神奇地”跳跃 1。因此，有一种全新的方式可以在集成下的扩展行为的上下文中查看类似函数的对象。

这需要更改一些定义，将函数转换为分布，并将黎曼积分转换为勒贝格积分，通常以积分替换中出现的 Stieltjes 积分的形式出现。因此，虽然使用分布而不是函数时的基本原理有很大不同，但很多建立在它之上的数学原理都是一样的。

现在，狄拉克梳的目的是从“函数”中提取有限数量的值，并赋予它们即使在连续域中积分下也可见的存在。如果您已经处于离散域中，则没有集成和 Lebesgue 度量和分布之类的东西。选择离散域中所有离散点的函数（在本例中为序列）仅为 1。

当信号以离散时间表示法表示时，它等效于由无限系列的狄拉克脉冲组成的连续时间信号，这些狄拉克脉冲按信号值缩放。离散时间的 Ones Comb 相当于连续时间的 Dirac Comb。

因此，您将使用 Dirac 对连续信号进行采样，并使用 Ones 对离散信号进行重新采样。不过，它们的意思相同。