信息处理 - 什么时候是 Schwartz 空间中的连续小波？ - 吾爱随笔录

信息处理信号分析小波英担

2022-02-15 11:11:25

我在想连续小波变换是否可以在施瓦茨空间中？如果有人知道可以帮助我并告诉我母小波或信号的条件是什么，那么小波变换当然可以在施瓦茨空间中？

谢谢

1个回答

不是 Schwartz 空间方面的专家，但这里有一些遵循Wiki定义的指针。它读取，一个函数在 Schwartz 空间中，如果

并给出一个满足这些的例子：

\begin{matrix} (1) & x^{α} e^{- a | x |^{2}} \end{matrix}

$x^\alpha e^{-a|x|^2} \tag{1}$

在哪里 $a > 0$ 并且是真实的。

我见过的所有 CWT 小波衰减都快或快于 $(1)$ （满足 B），有的满足 A：

B 是一个自然标准，因为我们需要良好的时频定位，这需要在时域和频域中都有很强的衰减。尽管它们很有用，但像广义莫尔斯这样的严格解析小波虽然满足 B，但在每个强制不连续处不满足 A $\omega = 0$ .

在Wavelet Tour ch4之后，小波是一个均值为零的函数。满足可接受性标准的函数，

\begin{matrix} (2) & C_{ψ} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{| \hat{ψ} (ω) |^{2}}{ω} d ω < + \infty \end{matrix}

$C_\psi = \int_0^{+\infty}\frac{|\hat\psi(\omega)|^2}{\omega} d\omega < +\infty \tag{2}$

必然是零均值（因此是一个小波），此外，它是连续可微的，因此它具有足够的时间衰减：

\begin{matrix} (3) & \int_{- \infty}^{+ \infty} (1 + | t |) | ψ (t) | d t < \infty \end{matrix}

$\int_{-\infty}^{+\infty}(1 + |t|)|\psi(t)|dt < \infty \tag{3}$

据我所知，这满足 A partialy，因为“连续可微！=所有导数都是连续可微的”，至少部分满足 B ，因为我不知道是否 $(3)$ 隐含 B。所以不是所有的小波，也不是所有的可接受的小波，都在 Schwartz 空间中，但后者至少在某种程度上接近。

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