我想了解如何将小波方法应用于 PDE，但不幸的是，我不知道有什么好的资源来了解这个主题。
似乎许多对小波的介绍都集中在插值理论上，例如，通过叠加最好的几个小波来组装信号。有时会提到 PDE 的应用，但没有深入探讨该主题。我对那些看过 WFT 但对该主题没有更多知识的人感兴趣的总结文章。当然，如果您认为可以做到，那么一个好的总结也会很有趣。
我特别想知道通常会出现哪种问题。例如，我知道有限元通常应用于具有 Lipschitz 边界的有界域上的 PDE，这是选择 ansatz 空间（符合、非符合、几何和组合）、如何建立收敛理论的典型问题（实际上，Galerkin 理论对于小波不应该如此不同），我有一些直觉，哪些数学事物在实现中是可行的。这种关于 PDE 小波的鸟瞰图对我很有帮助。
小波具有很好的多分辨率近似特性，但在求解偏微分方程时并不是特别流行。最常引用的原因是难以施加边界条件、未对齐各向异性的处理、非线性项的评估和效率。
小波首先获得了完全自适应方法的强收敛结果（参见Cohen、Dahmen 和 DeVore 2001和2002）。然而，这一关键理论很快被Binev、Dahmen 和 DeVore (2004)追随，他们证明了自适应有限元方法的类似结果，这种方法更流行于中等维度的传统 PDE 问题。小波基对于高维问题很流行，例如随机 PDE 的稀疏张量方法Schwab 和 Gittelson (2011)以及这个讨论。
当用小波基表示并用 Jacobi 进行预处理时，微分算子具有有界条件数（因此 Krylov 方法收敛于与分辨率无关的恒定迭代次数）。这与 Yserentant (1984)、Bank、Dupont 和 Yserentant (1988)等的分层多重网格方法有关。请注意，乘法多重网格方法具有优于加法方法的收敛特性。一个标准的多重网格 V 循环本质上等同于具有通常排序的小波基中的标准对称 Gauss-Seidel。请注意，这很少是实现的最佳方式，尤其是在并行时。
Calederon-Zygmund 算子和伪微分算子在小波基中是稀疏的。因此，许多 -矩阵对紧致基有用的问题可以使用小波基优雅地处理。
微分算子在小波基中的评估成本相对较高，并且可能难以建立所需的守恒性质。一些作者（例如Vasilyev、Paolucci 和 Sen 1995）采用搭配方法并使用有限差分模板来评估导数和非线性项。如果小波展开被阻塞（通常有利于计算效率），这些方法变得非常类似于块结构 AMR。
我建议Beylkin 和 Keizer (1997)作为使用小波求解 PDE 的实用介绍。MADNESS代码基于这些方法。它支持浸入式边界（参见Reuter、Hill 和 Harrison 2011），但没有有效的方法来表示复杂几何中的边界层。该软件通常用于解决几何无关的化学问题。
对于小波的一般数值分析，我建议使用Cohen 2003 年的书。它提供了一个分析框架，在该框架中连续解决方案被操纵，直到您想要将其评估到给定的精度，此时小波基将根据需要进行评估。