信息处理 - 通过伯恩斯坦多项式的陷波滤波器 - 吾爱随笔录

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在评论文章 [1] 中，作者解释说我们可以使用伯恩斯坦多项式对 FIR 陷波滤波器的频率响应进行建模。

该论文显示了详细信息，但在最后，他们提出了频率响应：

H (ω) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} {(cos (ω))}^{i}

$H(\omega) = \sum_{i=0}^{n} a_{i} \left( \text{cos}(\omega) \right)^{i}$

在哪里 $n$ 是过滤器的顺序和 $a_i$ 通过以下方式找到：

a_{i} = 2^{- n} [2^{n} (\binom{0}{i}) + \sum_{k = L + 1}^{n} (- 1)^{k + i - L} 2^{n + 1 - k} (\binom{n}{k}) (\binom{k - 1}{L}) (\binom{k}{i})]

$a_i = 2^{-n} \left[ 2^{n} \binom{0}{i} + \sum_{k=L+1}^{n} (-1)^{k+i-L} 2^{n+1-k} \binom{n}{k} \binom{k-1}{L} \binom{k}{i} \right]$

其中是决定陷波频率位置的设计参数。 $L$ $\omega_d$

问题：

我的问题是——我们如何将其转换为 FIR 滤波器？

例如，FIR 滤波器的零相位频率响应由下式给出：

H (ω) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} cos (i ω)

$H(\omega) = \sum_{i=0}^{n} a_i \text{cos}\left( i \omega \right)$

然后 FIR 滤波器的系数由和。 $h_0, h_1, \ldots, h_n$ $h_0 = a_0$ $h_{n-i} = \frac{a_i}{2}$

对于文章中给出的形式，是否有一个简单的响应系数映射，但对于因果和线性相位滤波器（如 [2] 中给出的）？如果是这样，它是什么？

一般来说，我们如何将 Bernstein 频率响应模型转换为 FIR 滤波器？进行采样，然后执行逆 DFT（[2] 中给出的插值方法），还是有封闭形式的解决方案？ $H(\omega)$

意见：在我看来，必须有，否则，当您可以使用不连续函数指定它并将生成的过滤器窗口化时，您为什么要费心费力地使用伯恩斯坦多项式采用逆 DFT 后的系数？也许只是因为 Bernstein 多项式是平滑的，所以我们可以只采用逆 DFT 并避免在选择正确的窗口或采样密度/滤波器长度时不得不胡闹？ $H(\omega)$

参考：

[1] S. Chandra、D. Roy、B. Kumar 和 SB Jain，“FIR 陷波滤波器设计——回顾”，电子学和能源学，卷。14，没有。3，2001 年 12 月，第 295-327 页

[2] I. Selesnick，“线性相位 FIR 滤波器”，网址：https ://eeweb.engineering.nyu.edu/iselesni/EL713/zoom/linphase.pdf