我正在阅读 Vese 和 Guyader 最近撰写的《图像处理中的变分方法》一书，这本书非常有趣。在书中，作者讨论了不同类型的图像处理问题，从去噪和去模糊问题到图像分割等等。共同的主题是他们使用变分方法，读作变分方法来获取噪声图像并去除噪声。我的问题是，为什么这些学者使用变分方法（欧拉-拉格朗日方程）来解决不是边值问题的问题。让我为这个问题打下一些基础。

现在这些图像问题自然是优化问题，我有一些原始图像$f$我想找一个新的形象$u$最好的复制$f$但受到一些限制。Rudin-Osher-Fatemi 方法以这种方式设置问题：

其中第二项是原始图像之间的标准差$f$和调整后的图像$Ku$，第一项是图像中的总变差范数，意思是相邻像素之间的第一个差值的绝对值之和。

该问题的解决方案为上述能量函数建立了欧拉-拉格朗日方程，然后使用梯度下降或此类算法最小化该能量。

但是，在我看来，变分法总是被当作解决边值问题的一种方法来教授。我得到两点，我想找到这两点之间能量最小的路径。所以我有一个BVP，我可以通过离散两点之间的空间并使用拍摄方法+优化器来找到最小能量路径来直接解决优化问题。或者我会使用欧拉-拉格朗日方程来找到作为数值解 ODE 或 PDE 的最小能量路径，从而避免最小化。

在看图像处理问题的时候，我是不是有一种边值问题的感觉？初始图像很好，但最终图像是优化的结果，事先不知道。因此，谁能解释为什么使用变分方法或欧拉-拉格朗日方法？

他们只是使用 EL 找到最小值而不考虑边界值，还是有其他一些我没有理解的直觉？