给定一个$2 \times 2$矩阵，$C$，假设我想计算一个过滤矩阵$H = C^{-1}$并且我需要出于实际目的添加正则化（例如，对于音频滤波器，需要正则化以限制滤波器在某些频率下的增益，其中条件数为$C$很大。）求解的线性方程组是$CH = I$， 在哪里$I$是个$2 \times 2$单位矩阵。

我的方法是使用 Tikhonov 正则化，其中解决方案（在每个频率上）由下式给出$H = \left(C^* C + \beta I\right)^{-1} C^*I$， 在哪里$\beta$是一个标量正则化参数，* 表示采用复共轭，因为这会最小化目标函数$\lVert CH-I \rVert^2 + \beta\lVert H \rVert^2$. So, with an appropriately chosen $\beta$ , we can essentially constrain the filter gain (since $\lVert H \rVert$ effectively corresponds to the max. gain of $H$ ), albeit at the expense of $H$ satisfying $CH = I$ less optimally compared to using $\beta = 0$。

另一种方法可能是将 H 计算$H$H $H = \displaystyle\frac{(\det C)^*}{|\det C|^2+\beta}\text{adj}(C)$，其中$\text{adj}(C)$对应于 C 的对数，\det C$C$于它的行列式。请注意，对于\beta = 0，这恰好对应于C^{-1}。这是我最近遇到但以前没有见过的一种方法。$\det C$$\beta = 0$$C^{-1}$

我很确定这两种解决方案不等效，但如果它们是相同的，那么将不胜感激。假设它们不是，我一直在尝试确定采用一种方法相对于另一种方法的好处。一方面，后者只能在$C$是平方的情况下完成（并且，从计算的角度来看，不能太大，因为它需要显式计算行列式和佐证）。此外，$\beta$以不同的方式进入解决方案，因此在一种方法中优化$\beta$的值可能比另一种方法更容易。除此之外，我对两者之间的差异没有太多了解，因为我对后一种方法并不熟悉。

作为社区的回应，我正在寻找关于这两种方法是否不同的确认，以及关于何时可能想要使用一种方法而不是另一种方法的评论，包括对后一种方法的更直观的解释，如果可能的话。使用后一种方法的论文/文章/书籍的链接将被计算在内并受到赞赏。谢谢！