混叠和频率回卷是违反Nyquist-Shannon 采样定理的结果，该定理指出，连续信号必须以至少两倍于信号最高频率的频率进行离散采样。因此，我们需要简要介绍相同的数学.

令x(t)为连续信号，y(n)为离散信号，其中y(n)= x(nT)。请注意，x(t) 将具有连续时间傅里叶变换 (CTFT)，而 y(n) 将具有离散时间傅里叶变换 (DTFT)

我们可以使用连续狄拉克 delta 函数p(t)构建一个采样的数学模型： $ p(t)= \sum_{k=-\infty}^{k= \infty}\delta(t-KT) \forall t \in 实际 $$p(t)= \sum_{k=-\infty}^{k= \infty}\delta(t-KT) \forall t \in Real$

令 w(t) =x(t)p(t)。我们可以证明连续函数w(t)的 CTFT 是y(n)的 DTFT 。写出w(t)的频域表示

$W(\omega) = 1/2\pi \ X(\omega) * P(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} X(\Omega) P(\Omega -\omega)d\Omega \ \ \ $ , where * is convolution

现在p(t)的 CTFT 可以写为

$P(\omega) = 2\pi /T \sum_{-\infty}^{\infty} \delta(\omega -k\ 2\pi /T)$

因此 $W(\omega) = 1/2\pi \int_{-\infty}^{\infty} X(\Omega)2\pi /T \sum_{-\infty}^{\infty} \delta( \omega -k\ 2\pi /T) d\Omega \\ = 1/T \sum_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} X(\Omega) \ delta(\omega -k\ 2\pi /T) d\Omega \\ =1/T \sum_{-\infty}^{\infty}X(\omega -k\ 2\pi /T) \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...使用\ \移位\属性$，$W(\omega) = 1/2\pi \int_{-\infty}^{\infty} X(\Omega)2\pi /T \sum_{-\infty}^{\infty} \delta(\omega -k\ 2\pi /T) d\Omega \\ = 1/T \sum_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} X(\Omega) \delta(\omega -k\ 2\pi /T) d\Omega \\ =1/T \sum_{-\infty}^{\infty}X(\omega -k\ 2\pi /T) \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...using\ \ shifting\ property$ ,

因此我们可以说 $Y(\omega) = 1/T \sum_{-\infty}^{\infty} X((\omega -2\pi k)/T) $$Y(\omega) = 1/T \sum_{-\infty}^{\infty} X((\omega -2\pi k)/T)$

所以我们可以说 y(n): $Y(\omega) $ 的 DTFT 是 CTFT x(t) 的移位和重复版本，即 $X(\omega)$。DTFT 是 CTFT 的总和，其副本偏移了 2π/T 的倍数。如下图所示。频率轴归一化为 -π/T < ω < π/T。$Y(\omega)$, is a shifted and repeated version of CTFT x(t) i.e. $X(\omega)$. The DTFT is the sum of the CTFT and its copies shifted by multiples of 2π/T.This is shown in the figure bleow. The frequency axis is normalized to −π/T < ω < π/T.

如果 X(ω) = 0 超出范围 -π/T < ω < π/T，即x(t)的频率不大于 nyquist，则副本不会与范围 -π < ω < π 重叠，并且有没有问题，如上图所示。

但是，如果 X 具有高于 π/T（fs/2 或 nyquist）的非零频率分量。会有重叠导致 fk 域中的环绕。参考以下：

请注意，在采样信号中，π 附近的频率会因原始信号中高于和低于 π/T 的频率分量的重叠而失真，从而导致 Fk 域中的回卷。现在，由于探测器数量的限制，空间采样通常很低，例如地震或 MRI，因此波数存在混叠。这种空间混叠在频率波数光谱中显示为环绕。

图片来源：RG Lyons：了解数字信号处理（第 2 版）

参考：EECS，加州大学伯克利分校

@维度10，

我对 FK 中混叠的理解是对视速度和到达方向的模棱两可/错误的解释。如果您在 FK 图中看到一条清晰的线，则沿该线的任何位置的 F 和 K 的比率（假设 K_x，一个规则线性阵列）为您提供了穿过阵列的平面波的视速度。如果您知道波在其中传播的介质的实际速度，您就可以找到方位角或波到达的方向。现在，如果阵列上相邻传感器之间的距离大于波长的一半，则会出现混叠，因为没有足够的空间样本来唯一地识别波。在我的地震领域，这会导致对倾角的错误解释，这就是反射层（地质层）倾斜的方式。当然，