让

$$x(t) = \frac{\sin t}{t} \qquad\text{and}\qquad y(t) = \frac{\sin 2t}{t}$$

• 是否有可能找到这样的 LTI 系统$\mathcal{T}\{x(t)\} = y(t)$?
• 如果不是，那是什么原因？

我的尝试：

假设存在频率响应

$$Y(j\omega) = H(j\omega)X(j\omega) \tag{*}$$

自从

$$\mathcal F\left\{\frac{\sin Wt}{\pi t}\right\} =\begin{cases} 1 &|\omega|\lt W \\0 &|\omega|\gt W\end{cases}$$ 我们有 $$X(j\omega) =\begin{cases} \pi &|\omega|\lt 1 \\0 &|\omega|\gt 1\end{cases}$$ 和 $$Y(j\omega) =\begin{cases} \pi &|\omega|\lt 2 \\0 &|\omega|\gt 2\end{cases}$$ 所以找不到$H(j\omega)$这样$(^*)$持有。因为如果$|\omega| \gt 1$我们有$X(j\omega) = 0$这意味着$Y(j\omega) = 0$矛盾的$Y(j\omega) = \pi$为了$1\lt |\omega| \lt 2$.

• 我的论点正确吗？
• 另外，我们如何证明不存在案例频率响应的不可能性？这是什么直觉？我的意思是直觉上很清楚我们不能拥有$\mathcal{T}\{x(t)\} = y(t)$用于 LTI 系统？