信息处理 - 检查工作：只有一个极点的高通滤波器频率响应的 3dB 带宽表达式 - 吾爱随笔录

输入输出关系为：

$y[n]=ay[n-1]+bx[n]$

$-1<a<0$

我应用 z 变换来获得传递函数：

H (z) = \frac{b}{1 - a z^{- 1}}

$H(z)=\frac{b}{1-az^{-1}}$

自从 $-1<a<0$ ，最大功率将出现在 $w=\pi$ 在哪里 $w$ 是频率。

所以最大 $|H(z)|^2=\frac{b^2}{(1+a)^2}$

在 3dB 频率下，功率将是该频率的一半。所以如果 3dB 频率是 $w$ ，然后：

\frac{b^{2}}{1 + a^{2} - 2 a c o s w} = \frac{b^{2}}{2 (1 + a)^{2}}

$\frac{b^2}{1+a^2-2acosw}=\frac{b^2}{2(1+a)^2}$

1 + a^{2} - 2 a c o s w = 2 (1 + a)^{2}

$1+a^2-2acosw=2(1+a)^2$

解决这个我得到

w = c o s^{- 1} (\frac{- 1 - a^{2} - 4 a}{2 a})

$w=cos^{-1}(\frac{-1-a^2-4a}{2a})$

它是否正确？如果不是，哪一步是错的？