信息处理 - 多分辨率分析分解中的 Daubechies 小波 - 吾爱随笔录

多分辨率分析分解中的 Daubechies 小波

信息处理小波

2022-01-31 03:07:49

我对 Daubechies 小波有一个理解问题。

当我使用多分辨率分析时，我想在子空间。通过计算系数，我将信号拆分为细节部分和其余部分。现在我想知道，Daubechies 小波如何适合这张图片。Daubechies 小波由系数定义，但在我看来，这些只有在我尝试对中的输入数据执行小波分解时才可用。 $f\in L^2(\mathbb{R})$ $V_i$ $l^2(\mathbb{Z})$

为了说明我的问题，我不知道如何计算第一个内积如果和中没有函数表达式。

c_{i} = ⟨ f, φ_{i, j} ⟩, and d_{i} = ⟨ f, ψ_{i, j} ⟩

$c_i = \langle f, \varphi_{i,j} \rangle, \text{ and } d_i = \langle f, \psi_{i,j} \rangle$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

L^{2} (R)

$L^2(\mathbb{R})$

提前致谢

马蒂亚斯

2个回答

正如我在评论中提到的，原因似乎是所谓的“小波犯罪”，它以采样数据为内积。但是我发现了一个问题，和我的差不多

小波变换：只有样本可用时如何计算初始系数？*

很多论文都回答了这个问题，非常感谢 Laurent Duval。在其中一篇论文中

关于离散小波变换算法的初始化

有一个推导来计算初始内积。可以将内积近似为并且可以阅读以下注释：

c_{k} = \int_{R} f (t) φ (t - k) d t \approx φ (- k)

$c_k = \int_\mathbb{R} f(t)\varphi(t-k)dt \approx \varphi(-k)$

“一个非常好的近似时间形状的 $\varphi(t)$ 可以得到滤波器 h 的脉冲响应与其自身进行大量卷积。然后只需要收集样本 ${\varphi(p) = \varphi(t = p)}_{p\in\mathbb{Z}}$ 执行近似初始化”

因此，知道Wikipedia中给出的滤波器系数就足够了。

第一个内积不容易计算，特别是对于像 Daubechies 那样没有封闭形式表达式的小波。如前所述，小波变换中提供了参考资料：How to compute the initial coefficients when only samples are available?

在近似技术的定量傅里叶分析中，提到：

除非缩放函数已经满足所谓的准插值属性 [35]，否则建议在给定函数的离散值的情况下使用预滤波器来计算 (3) 中的精细尺度扩展系数。[34] 和 [36] 中讨论了小波预滤波算法的一些示例。

我在这里添加：

S. Ehrich，“用于快速小波变换的 Sard 最优预滤波器”，Numer。算法，1997。

根据我的经验，当人们想要检测最大值和位移（尤其是使用非对称 Daubechies 小波）或组合多个正交基（多小波、wavelrt 基的联合等）时，计算此类预滤波器开始变得不可避免。

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