这不是一个答案。我只是想重申这个问题，以便方程在尺寸上是均匀的：

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我不知道如何开始。请帮助:)

$$m(t) = z(t) + \tfrac{1}{4}\operatorname{sinc}\left(\tfrac{t-T}{T}\right)$$

我们有一些信号$z(t)=\left(\operatorname{sinc}(\tfrac{t}{T})\right)^2$. 应该多久$m(t)$信号被采样以确保正确的信号重建？

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这个问题可以得到有意义的回答。

让我们定义：

$$\operatorname{sinc}(u) \triangleq \begin{cases} \frac{\sin(\pi u)}{\pi u} \qquad & u \ne 0 \\ 1 \qquad & u = 0 \\ \end{cases}$$

$$\Pi(u) \triangleq \begin{cases} 1 \qquad & |u| < \tfrac12 \\ \tfrac12 \qquad & |u| = \tfrac12 \\ 0 \qquad & |u| > \tfrac12 \\ \end{cases}$$

$$\Lambda(u) \triangleq \begin{cases} 1 - |u| \qquad & |u| \le 1 \\ 0 \qquad & |u| > 1 \\ \end{cases}$$

暗示：

(1)$sinc(\frac{t}{T})$是 a 的傅里叶逆变换$rect$频域中的函数$f=[-\frac{1}{2T}, \ \frac{1}{2T}]$. 时移只会在傅里叶变换中产生不影响带宽的相位项。

(2)$z(t)$是两个的乘积$sinc(\frac{t}{T})$在时域。因此，它的频域表示将是两个的卷积$rect$(1) 中给出的函数。计算两个的卷积$rect$功能与$f=[-\frac{1}{2T}, \ \frac{1}{2T}]$并关注其最大频率。

(3)$m(t)$是两个时域函数之和，因此，它的频域表示也是两个信号的频域表示之和。

(4) 采样频率应至少为傅里叶变换中最大频率的两倍$m(t)$.

因此，为了在不丢失信息的情况下重建信号，您必须使用$\frac{1}{T}=f_\mathrm{s}>2B$. 这被称为奈奎斯特率。

因此，为了确定最小采样率，我们需要检查频域中的函数。

$m(t) = \operatorname{sinc}\left(\tfrac{t}{T}\right)^2 +\dfrac{\operatorname{sinc}({t-T})}{4}$

所以傅里叶变换将是

$M(f) = (T\operatorname{\Pi}(T\pi f) \circledast T\operatorname{\Pi}(T\pi f)) + \dfrac14\operatorname{\Pi}(\pi f)e^{-j2\pi fT}=T\Lambda (\pi f T) + \dfrac14\operatorname{\Pi}(\pi f)e^{-j2\pi fT}$

为了忠实地重建信号： $f_\mathrm{s}=\max(4T,2)$

指数无关紧要，它受$\operatorname{\Pi}(\cdot)$