与 Jason R 的回答相反，我声称希尔伯特变换是相移$-\pi/2$对于实值信号。根据定义，移相器将正弦信号的相位移动某个给定的相位$\phi$：

$$x(t)=\cos(\omega_0t)\quad\Longrightarrow\quad y(t)=\cos(\omega_0t+\phi)\tag{1}$$

自从

$$\cos(\omega_0t)=\frac{e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t}}{2}\tag{2}$$

和

$$\cos(\omega_0t+\phi)=\frac{e^{j\omega_0t+\phi}+e^{-j\omega_0t-\phi}}{2}\tag{3}$$

很明显，为了信号$x(t)$经历相移$\phi$，正频率需要移动$\phi$和负频率$-\phi$. 为了$\phi=-\pi/2$这正是希尔伯特变压器的作用。

一个常数传递函数，如$H(f)=e^{-j\pi/2}=-j$除了缩放输入信号（在本例中为虚数单位）之外，并没有真正做太多事情。所以信号$x(t)=\cos(\omega_0t)$被“转化”为$y(t)=-j\cos(\omega_0t)$. 当然，对于复值输入信号的特殊情况$x(t)=e^{j\omega_0t}$乘以$-j$通过实现相移$-\pi/2$，但通常我们想要改变实值信号的相位，在这种情况下，我们需要一个与频率相关的传递函数。

希尔伯特变换不是相移$-\frac{\pi}{2}$. 正如您在问题中指出的那样，它的频率响应将正频率移动$-\frac{\pi}{2}$和负频率$\frac{\pi}{2}$. 这与所有频率上的恒定相移不同，正如您通过乘以$e^{-j\frac{\pi}{2}}$.

希尔伯特算子是谐波分析中非常重要的算子。它专门用于 在谐波分析中的探索与复杂函数理论的应用中的第 2 章（中心思想：希尔伯特变换）和 King 的两本整本书，希尔伯特变换。

因此，它的特性远远超出了单纯的相移，也超出了我的理解范围。希尔伯特变换产生倒数希尔伯特对。一个误导性的印象是由于正弦和余弦是（最多一个符号）希尔伯特对，并且一起形成最重要的分析信号：

$$e^{it} = \cos t+ i \sin t\,.$$

原始函数 ($\cos$) 为蓝色，对偶 ($\sin$) 绿色：

虚线是解析信号的包络线。在这里，相移背后的“直觉想法”是显而易见的。但如果你观察其他希尔伯特对，你会看到完全不同的画面。对于柯西函数：

对于基数正弦：

对于矩形窗口：

我仍然对如此不同外观的函数具有相同的幅度谱感到惊讶，尤其是对于最后一个函数。很容易看出，频域中相位的简单操作会导致不直观的时间行为。记住这一点的一种方法是，如果一个函数是对称的（偶数），它的希尔伯特对是反对称的（奇数），反之亦然。

这个问题已经有了答案。我只是认为在@MattL 提供的答案中解释相移会很好。

考虑一个周期等于的方波信号$L$. 通过查看其他答案之一（来自@LaurentDuval，最后一张图），可以看到一个矩形脉冲的希尔伯特变换的实际形状应该如何。现在，术语相移不适用于此类信号，因为它不是正弦信号（尽管有时因其延时版本而被误用）。但是我们怎么能看到希尔伯特变换实际上改变了相位，尤其是当我们处理诸如方波之类的非正弦信号时？

答案很简单。由于相移只适用于正弦信号，所以我们应该用正弦信号来表示一般信号，并逐一移动。这可以使用信号的傅里叶级数表示来完成。

方波的傅里叶级数表示为

$$f(t)=\frac{1}{4\pi}\sum_{n=1,3,...}^\infty \frac{1}{n}\sin(\frac{n\pi t}{L})$$

现在由于希尔伯特变换$\sin(t)$是$\cos(t)$（这是一个相移），方波的希尔伯特变换的傅里叶级数应该是

$$f_{\text{HT}}(t)=\frac{1}{4\pi}\sum_{n=1,3,...}^\infty \frac{1}{n}\cos(\frac{n\pi t}{L})$$

在下图中，我根据第一个绘制了两个信号$50$他们的傅里叶级数的条款，这表明$f_{\text{HT}}$是我们所期待的。