假设我们使用 2 个相同的传感器读取单个旋转轴的读数。直观地说,我认为对两个传感器的输出进行平均会产生较少噪声的结果。但是,如果传感器 A 的缺陷使其比传感器 B 的噪音大得多,那该怎么办。使用平均数据仍然是明智的吗?还是只使用传感器 B 的数据会更好?
平均来自 2 个传感器的数据
如果传感器 A 有缺陷,明确的答案是仅使用传感器 B。
当可以主动表征每个传感器的质量时,将噪声降至最低的优选解决方案是根据每个传感器的质量进行加权平均。对于 OP 提出的从单个旋转轴读取读数的情况,这可以很容易地完成。
在存在白噪声的情况下,对于独立信号的一般情况,最佳组合是使用信噪比对每个信号进行加权平均,这称为最大比组合。在实际应用中,我们确定我们可以使用这些假设的程度,我们提取 SNR 度量的能力还取决于信号的静止程度。考虑到这一点,我们专门针对 OP 得出了一种合理的方法。
以 x 和 y 给出的两个传感器的结果的标准平均值将按以下方式完成:
或者,通过最大比率组合,两个传感器可以如下组合:
其中:
,:每个传感器测量的方差
从可以直观地看出这将是多么优越,因为我们现在正在做一个加权平均,偏向于两者平均值中噪声较小的传感器。[解决 FAT32 对本文早期版本的好评;除了方差估计之外,还可以跟踪估计每个传感器的平均值
请注意,当我们没有关于每个传感器质量的更多信息时,当我们设置变为。在测量结果稳定的情况下,我们能够轻松提取一阶和二阶统计量(均值和标准差为和) 直接从每个传感器的测量结果,然后能够应用最大比率组合。在许多情况下,可以在有限的时间间隔内合理地假设平稳性,在 OP 的情况下,可以轻松地估计每个传感器在实验动态、传感器带宽等允许的最大持续时间内的平均值和标准偏差,然后组合如。
有关非常稳健(但详细)的方法,请参阅如何解释陀螺仪的艾伦偏差图?有关使用两样本方差动态确定均值和方差估计的最佳平均时间的更多详细信息。因此,可以设想测量系统连续监测传感器的移动窗口均值、方差和两个样本方差以提供最大比率解决方案,其中窗口持续时间基于最小化两个样本方差而更新。这种复杂程度可能是不必要的,因为选择一个已知为固定区间的移动窗口并简单地计算该持续时间的均值和方差就可以得到; 但显示了一种有趣的稳健方法,可以做其他事情。
总之,Maximal Ratio Combining 是优于简单平均的解决方案。一个更简单、次优但有效的策略是选择具有最高 SNR 的传感器并忽略另一个,或者进行简单的平均并在阈值噪声条件下禁用传感器(无论如何都应包括在内,例如传感器卡住或过度偏移条件,以 Fat32 在评论中的观点)。最坏的情况是任意地对两者进行平均,因为当其中一个传感器可能出现故障是完全可行的时候,OP 会提出这个原因。只有当两个传感器都没有缺陷并且我们相信具有相似的性能时,一个简单的平均值才有意义。
这类似于分集接收器中使用的策略,其中两个独立通道被最佳组合:
https://en.wikipedia.org/wiki/Diversity_combining
还要从评论中包含 Fat32 发现的链接,该链接将这种方法称为“Fraser-Potter 固定间隔平滑器”,来自传感器社区,而我接触到来自无线通信社区的等效“最大比率组合”。
https://en.wikipedia.org/wiki/Sensor_fusion
根据我朋友 Fat 的要求进行演示,下面显示了具有背景趋势、偏移和斜率差异的两个传感器读数的模拟结果,其中信号的统计数据是先验未知的(一切都是从信号本身中提取的) .
上图表示来自两个传感器的原始测量值,其中一个传感器噪声很大。底部图显示了在每次更新(标准平均值)之后简单地平均每个传感器的读数以产生平均结果的比较结果,以及最大比率组合平均值,其中两个样本中的每一个被平均首先由来自的方差估计加权每个传感器的数据。估计器使用移动窗口来测量每个传感器在过去 500 个样本中的方差。
生成了一个误差信号,将最终结果与没有添加噪声的基础传感器信号的平均值进行比较,并绘制在下方,显示最终结果的整体噪声明显提高了性能。
我还将包括艾伦偏差(2 样本方差的根)的结果,显示其背后的重要性。我选择使用来自 ADEV 审查的 500 个样本,在这种特殊情况下为我们确认,多达 500 个样本的统计计算将改善总体估计,超过或低于该值的任何东西都会被降级(这包括我们对方差的估计每个传感器的最大比率组合以获得每个结果,以及我们可以在多长时间内平均这些结果以获得最终传感器结果)。这不是必要的步骤,但我会亲自检查任何统计分析,这里展示了它的明确实用性。基本上这是说即使有背景斜率,考虑到噪声水平本身,我们可以假设在这种情况下超过 500 个采样时间间隔是平稳的。这意味着我们将通过对每次测量使用多达 500 个样本来确定加权统计数据来改进我们的噪声估计。(并且使用多达 2000 个样本将提供与 100 个样本一样好的答案!)。同样最重要的是,请注意标准平均值和最大比率组合之间的明显差异,因为后者比单独的最佳传感器更好!
下图的水平轴以对数样本为单位,显示了 500 个样本平均时间的主要噪声的最小值。
如何阅读 ADEV 图的 30 秒入门:水平轴表示平均持续时间(此处为样本),而垂直轴表示在该持续时间平均后随机变量平均值的标准偏差。这与我们对可能用于基础数据的任何估计器的信心有关。个样本的平均值时的速率下降这正是我们在所有曲线中看到的,最多 100 个样本(对于最嘈杂信号的蓝色曲线,最多 500 个样本)。之后,由于测量中的潜在漂移,它会触底并出现。这告诉我们,出于所有实际目的,我们可以假设数据上的噪声是白色的,并且在 ADEV 图仍以,并且我们将通过使用该持续时间内的数据来最小化任何估计量的不确定性(噪声),这些估计量包括均值作为其计算的一部分(rms、方差等):非常简单,它告诉我们关于在多长时间内的真实程度我们可以平均并不断改进结果的时间;平均时间更长,结果实际上变得最差!(在这种情况下,我们可以利用更长的平均时间简单地消除对它们的线性漂移 - 但通常会出现最小值,因为信号统计不再稳定,因为更多的随机效应无法预测消除。)
TO DO:卡尔曼滤波器类似地确定两个样本之间平均的最佳权重。说明在这种情况下卡尔曼将如何产生相同的加权解决方案(这是这种情况下的最佳组合)以及为什么,并说明在什么条件下特别需要使用卡尔曼......
多一个传感器总是更好,即使它有很多噪音或失真等,只要您可以充分模拟其特性,并且无需担心增加的电路复杂性。
如果您无法从数学上描述添加的传感器有多糟糕,而是将其视为好传感器,那么与具有已知特性的单个更好的传感器相比,您将降低性能。
在实践中,对低质量传感器进行充分和精确的建模比避免它更难。
以下是两篇关于未知统计数据下通用传感器融合的论文:
- 未知分布下的多传感器融合,富兰克林研究所杂志,1999
- 关于性能优于最佳传感器的定影器,IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2001