所示的计算是LTI 滤波器操作的相关器等价物。信号/序列与信号/序列相关（时间偏移为零），并且互相关函数的值（时间偏移为零）定义为 虽然有些人会随着不同鼓手的节拍前进并将其定义为 是的，那表示复共轭。了解相关器输出如何等于采样时刻的匹配滤波器输出$x[\cdot]$$h[\cdot]$

$$C_{h,k}[0] = \sum_{k=-\infty}^\infty (h[k])^*x[k]$$ $$C_{h,k}[0] = \sum_{k=-\infty}^\infty h[k](x[k])^*.$$ $\,^*$（ ），请参阅我的这个答案的最后一部分。在引用的答案中，采样时刻的匹配滤波器称为匹配滤波器。$t=0$$0$

卷积 for 如果是的傅里叶变换， 是的傅里叶变换，

$$y[n]=\sum_k h[n-k]x[k]=\sum_k h[k] x[n-k]$$ $n=0$ $$y[n=0]=\sum_k h[-k] x[k]$$ $H(e^{-\jmath \omega})$$h[n]$$H(e^{\jmath \omega})$$h[-k]$

匹配滤波器的最大化在点处。 $n=0$

在通信对应于同步。$n=0$

在 RADAR/SONAR 问题中，匹配滤波器的最大输出是$n=0$

匹配滤波器是与可能隐藏在加性白噪声中的特定波形的最佳相关性。通过乘以感兴趣波形的复共轭，我们可以在求和完成后最佳地增加最终结果的 SNR。（请注意，在这种情况下，我们正在对 k 个样本进行求和，一个最终结果是一个感兴趣的样本，该样本将具有最大 SNR 以用于信号检测或决策）。

要了解这是如何工作的，请考虑两个独立的同分布随机变量；当我们将两者相加时，平均值将加倍，但标准偏差（即噪声分量的幅度）仅在两个样本不相关时（如白噪声）增加了 2 的平方根。如果我们添加 100 个样本，总和将增加 100（相等的平均样本），但标准偏差只会增加 10。这称为处理增益并导致关系其中 PG是以 dB 为单位的处理增益（这是由于此过程导致的 SNR 增加）。 $PG = 10Log_{10}(N)$

下面是一个具体说明这一点的图形。这里我们展示一个感兴趣的波形$x(t) = e^{j\omega_o t}$，即接收为$y(t)$加上加性高斯白噪声。注意到$Ke^{j\phi}$只是幅度为 K 和角度的相量$\phi$, 下图显示了两者$y(t)$和$x^*(t)$（是*是复共轭）在三个连续样本的时间为$x(n)$和$y(n)$(n = 0, 1 2)。 $y(n)$此外，在其标准偏差处，图形中的虚线表示噪声。（所以给定加性高斯白噪声，我们的实际样本有 63% 的机会$y(n)$在每种情况下都在所示的虚线圆圈内。）

再次非常清楚，这里的应用程序是我们收到的$y(t)$, 我们可以相信$x(t)$隐藏在我们接收到的信号中，因此我们使用 x(t) 进行关联以优化我们的检测机会，或者类似地，我们已知波形的接收 SNR。下面我们将看到当信号确实匹配（并且重要的是在时间上对齐）时，我们将通过使用匹配滤波器中固有的复杂乘法和求和过程来获得最佳 SNR。

匹配滤波器（或任何相关）的过程是相乘和累加（在离散系统中，或在连续时间中积分）。因此，显示的三个样本的相关性将简单地为$x^*(0)y(0)+x^*(1)y(1)+x^*(2)y(2)$.

在第一个样本中，当 n=0 时，两者 $y(0)$和$x^*(0) = e^{j0}$这是一个大小为 1、角度为 0 的相量。$y(n)$如前所述，还具有由虚线表示的噪声。所以第一个产品的结果$x^*(0)y(0)$只是 y(0)，因为在这种情况下 x(0) = 1。重要的是，在第一个产品之后，我们仍然有相同的噪声标准偏差。

在处理第二个样本 (n=1) 时，我们开始看到匹配滤波器的美妙之处（以及复共轭如此重要的原因！）。因此，在样本 n=1 处，我们已经在时间上向前转换，并且 x(t) 是一个在时间上逆时针旋转的相量（增加相位）。因此复共轭是顺时针旋转的相量，如中间图形中的红色相量所示。同时，接收到的信号 y(t) 已逆时针旋转，如 y(1) 处的黑色相量所示。相量相乘会导致它们的角度相加，因此在这种情况下，作为两者的乘积，我们只需将黑色相量 y(1) 旋转回实轴！由于求和，然后将这个结果添加到第一个样本中。此时信号电平本身总和为 2，但第一个样本中的噪声被添加到第二个样本中的噪声中。这两个样本有不相关的噪声，所以标准差只增加了$\sqrt{2}$. 然后再到第三个样本，信号上升 3 并且噪声（它的标准偏差）上升$\sqrt{3}$，因此 SNR 增加了$10\log_{10}(3) = 4.7$D b

下面显示了轻微的频率偏移会发生什么。这里的参考相量（作为我们匹配滤波器中的系数）与 y(n) 内的感兴趣波形不完全匹配。噪声的标准偏差仍然上升相同的量（$\sqrt{3}$)，但是由于我们的信号分量不完全匹配，我们没有得到信号的最大增益。

这显示并演示了与具有恒定幅度但相位是被匹配的时间变化的波形的匹配（以及使用复共轭特别是正确对齐相位的重要性）。为了增加对匹配滤波器中幅度匹配的直观理解，请考虑在已知信号分量很小（如果我们知道信号分量为零！），并在已知信号分量很大时最大化接收到的信号。因此，每个样本在累积结果之前都进行了适当的缩放，以同样使 SNR 最大化。