我会寻找他们对偶数和奇数函数的数学研究的兴趣，它们有自己的维基百科页面。奇数和偶数函数具有简化分析的固有属性（对称性、极限条件、和/积）。反过来，因为每个函数都可以唯一地表示为偶函数和奇函数之和：

$$f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

此属性可用于更复杂的上下文。例如，如果$f$是可微和偶数，导数是奇数，反之亦然。因此，这种分解对于分析微分方程很有用。现在，请记住傅立叶通过研究和求解热方程发现了他的级数。因此，看到这些奇数/偶数对称性与傅立叶相关的基数一起发挥作用也就不足为奇了：离散余弦和正弦变换、哈特利变换。对称性可用于降低复杂性并提供更快的算法。

还有一个更代数和统计的推导。它们详细来自 Cantoni 和 Butler 的 1976 年论文Properties of the Eigenvectors of Persymmetric Matrices with Applications to Communication Theory和Eigenvalues and Eigenvectors of Symmetric Centrosymmetric Matrices 。他们观察到许多问题（通信理论、信号处理）都适合使用某些矩阵的特征值和特征向量：

1. 信息论，例如离散时间信道均衡和最大似然 PAM 检测
2. 线性系统理论，例如离散时间系统的稳定性
3. 线性估计理论（平稳随机过程的协方差矩阵属于该类），例如主成分分析
4. 数值分析，例如求解微分方程

然后，有一个很好的定理：

证明了对称中心对称矩阵的特征向量$N$要么是对称的，要么是斜对称的，并且有$\lceil N/2 \rceil$对称和$\lfloor N/2 \rfloor$倾斜对称特征向量。为了完整起见，提出了一些关于对称中心对称矩阵的先前已知但广泛分散的事实。考虑特殊情况，特别是奇数和偶数的三对角矩阵，其中表明，如果特征值不同，则对应于按降序排列的特征值的特征向量是交替对称和斜对称的。

例如，从协方差矩阵导出的基，用于长度信号$2K$会有$K$奇怪的和$K$甚至特征向量（在温和条件下）。因此，在设计基时，很自然地同时具有奇数（斜对称）和偶数向量。有趣的是，经典的正交二元离散小波不表现出这种对称性，这激发了其他设计，如多波段小波或重叠正交变换 (LOT)，它们是真实的，具有有限支持和奇/偶对称性。

因此，在实际应用中，您有信号表示（基础、帧）和算法优化。

我不确定您是否会将其称为实际应用程序和实际含义，但是知道（或强制）信号为奇数甚至使您能够以某种方式处理它。

例如，如果您知道（或强制）信号为偶数，则其离散傅里叶变换 (DFT) 的虚部变为零，您可以将此信号表示为$\cos(\cdot)$职能。这将 DFT 与离散余弦变换(DCT) 联系起来。

具体来说：

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-i \frac{2 \pi k n}{N}}$$

这是一种简洁的说法：

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot \left ( cos\left ( \frac{2 \pi k n}{N} \right ) - i \sin\left ( \frac{2 \pi k n}{N} \right ) \right )$$

这清楚地表明$X \in \mathbb{C}$（复）并且由实部组成（其中$x[n]$乘以$\cos(\cdot)$）和一个虚部（其中$x[n]$乘以$\sin(\cdot)$）。

但是，$\cos(\cdot), \sin(\cdot)$分别是偶函数和奇函数，它们的对称性与积分结合时的工作方式意味着如果信号是偶周期函数，那么它可以用一系列余弦表示。

好的，但我只有一个可以是任何东西的录音......我怎么知道（或强制）它是一个偶数函数？（或奇函数）。

离散傅里叶变换的关键假设之一是$x[n]$是一个周期函数。也就是说，即使你通过一个人数“一二三四”的随机记录，DFT 在其输入中看到的只是“一二三四一二三四一二三四一二三四... ”。换句话说，一旦你达到$x[n]$（这是$N$)，你回到它的开始。

那么，我们如何使它成为一个均匀的信号呢？

请注意，在偶数信号中$f(x) = f(-x)$. 因此，我们可以生成一个长度是$x[n]$一旦我们到达终点$x[n]$我们通过向后播放来重复它。这样，$x[N+n] = x[N-n]$或“一二三四四四五四五四五一二三四四四五一二三四四四五一二三四四五一二三四四四五一二三四四四五一二三四四四五一二三四四四五一二三四四四五一二三四四四五一二三四四四五一二三四四四五一二三四四四五四五一二三四四四五四三四四四五四三四四四五一三四四三四四三四四三四四三四四三四四三四四三四四三四三四四三四四三四四三四四三四四三四三四四三四三四四三四四三四四三四三四四三四三四三四四三四三四五四五四

就“演示”而言，DFT[1,2,3,4]有一个虚部，而DFT[1,2,3,4,3,2]没有。

我认为您不会找到这样的直接应用程序，它可能会“利用”函数是偶数或奇数的含义。

希望这可以帮助。