信息处理 - 罪( tω ) _sin⁡(tω)不是能量信号，那么它的傅里叶变换怎么会存在呢？ - 吾爱随笔录

信息处理傅里叶变换

2022-02-23 22:02:09

下面的积分（也许是傅里叶变换 $\sin (t \omega)$ ) 不收敛：

$\int_{-\infty }^{\infty } e^{-i t \omega } \sin (t \omega ) \, dt$

作为， $\sin (t \omega)$ 不是能量信号（而是功率信号），那么我们如何成功地找到傅里叶变换 $\sin (t \omega)$ ?

1个回答

你是对的，除非它们被解释为分布，否则这些积分是没有意义的。这就是我们需要做的，因为 - 如您所知 - 正弦函数的傅里叶变换涉及增量脉冲。让我试着让它更直观一点：

delta函数的傅里叶逆变换 $\delta(\omega)$ （在频域中）由下式给出

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} δ (ω) e^{i ω t} d ω = \frac{1}{2 π} e^{i 0 \cdot t} = \frac{1}{2 π}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega)e^{i\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}e^{i0\cdot t}=\frac{1}{2\pi}$

所以我们有傅里叶变换关系（时域 $\Longleftrightarrow$ 频域）

1 ⟺ 2 π δ (ω)

$1\Longleftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$

使用我们得到的 shift 属性

e^{i ω_{0} t} ⟺ 2 π δ (ω - ω_{0})

$e^{i\omega_0 t}\Longleftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$

而且因为

\sin (ω_{0} t) = \frac{1}{2 i} [e^{i ω_{0} t} - e^{- i ω_{0} t}]

$\sin(\omega_0t)=\frac{1}{2i}[e^{i\omega_0 t}-e^{-i\omega_0 t}]$

我们得到它的傅里叶变换

\sin (ω_{0} t) ⟺ \frac{π}{i} [δ (ω - ω_{0}) - δ (ω + ω_{0})]

$\sin(\omega_0t)\Longleftrightarrow \frac{\pi}{i}[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]$

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