信息处理 - DTFT的幅值和相位图 - 吾爱随笔录 - 问答

DTFT的幅值和相位图

信息处理离散信号傅里叶变换

2022-02-15 23:08:48

我对以下信号进行了离散时间傅里叶变换：

x [1] = 4 x [- 1] = - 4

$x[1]=4\quad x[-1]=-4$

结果是

4 e^{j ω} - 4 e^{- j ω}

$4e^{j\omega}-4e^{-j\omega}$

我们应该画出这个复杂函数的幅值和相位图。

首先，我用它把它变成了复正弦 $\sin(\alpha)=\frac{e^{j\alpha}-e^{-j\alpha}}{2j}$ ：

4 e^{j ω} - 4 e^{- j ω} = 8 j \sin (ω)

$4e^{j\omega}-4e^{-j\omega} = 8j\sin(\omega)$

然后我把它变成幅度和相位部分：

8 j \sin (ω) = 8 \sin (ω) \cdot e^{j \frac{π}{2}}

$8j\sin(\omega) = 8\sin(\omega)\cdot e^{j\frac{\pi}{2}}$

由此，很明显（或者对我来说很明显）幅度图是：

8 \sin (ω)

$8\sin(\omega)$ 相图为：

e^{j \frac{π}{2}} ⟹ \frac{π}{2}

$e^{j\frac{\pi}{2}} \implies\frac{\pi}{2}$

我能够绘制这两个图表，但由于某种原因，两者都不正确。在答卷中，量级以绝对值绘制。相位没有开启 $\frac{\pi}{2}$ 在整个图形上（如函数所建议的那样），但仅在 x 轴的正数部分上。我不知道我做错了什么。下图在答卷中：

2个回答

您对 DTFT 的结果是正确的：

\begin{matrix} (1) & X (e^{j ω}) = 8 \sin (ω) e^{j π / 2} \end{matrix}

$X(e^{j\omega})=8\sin(\omega)e^{j\pi/2}\tag{1}$

然而，方程式。 $(1)$ 没有明确显示幅度和相位。幅度应该是非负的，并且 $\sin(\omega)$ 显然是负面的 $-\pi<\omega<0$ .

幅度和相位的实际分解是

X (e^{j ω}) = {\begin{cases} 8 | \sin (ω) | e^{j π / 2}, & 0 < ω < π \\ 8 | \sin (ω) | e^{- j π / 2}, & - π < ω < 0 \end{cases}

$X(e^{j\omega})=\begin{cases}8|\sin(\omega)|e^{j\pi/2},&0<\omega<\pi\\8|\sin(\omega)|e^{-j\pi/2},&-\pi<\omega<0\end{cases}$

符号变化的地方 $\sin(\omega)$ 由相位跳变反映 $\omega=0$ .

@ampersander：你的表情 $e^{j\frac{\pi}{2}}\implies\frac{\pi}{2}$ 是不正确的。它应该是 $e^{j\frac{\pi}{2}}=j$ . 因此，Matt L. 的正确方程 (1) 可以重写为

X (e^{j ω}) = j 8 \sin (ω) = 0 + j 8 \sin (ω)

$X(e^{j\omega})=j8\sin(\omega)=0+j8\sin(\omega)$ 所以真正的部分

X (e^{j ω})

$X(e^{j\omega})$ 为零，其虚部是正弦波。在复平面上

X (e^{j ω})

$X(e^{j\omega})$ 上下骑行总是停留在

j

$j$ 轴。和

X (e^{j ω})

$X(e^{j\omega})$ 的相位角总是

\pm π / 2

$\pm\pi/2$ 弧度。

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