随机过程$x(t)$的自相关函数定义为

$$R(t,\tau) = {\mathbb E}\{x(t) x(t+\tau)\}.$$

对于平稳随机过程，该函数不依赖于$t$，即我们有$R(t,\tau) = R(\tau) \; \forall t$。相关性仅取决于两个样本之间的时间差，而不是测量相关性时的“绝对”时间$t$。

对于平稳和遍历过程，集合平均可以用时间平均代替，我们有

$$R(\tau) = \lim_{T\rightarrow \infty} \int_T x(t) x(t+\tau) {\rm d}t,$$ 在离散情况下会折叠为您显示的总和。

Brown 提到的表达式是和的函数，这一点毫无疑问。然而，布朗认为（我没有遵循这些论点，但它们应该在他引用的第二篇论文中）该表达式可用于计算“窄化自相关函数”（无论是什么），如果查看作为 \tau 的函数，等于周期信号的倍数时，它具有峰值。这听起来像是的特定选择是无关紧要的，如果我们考虑$t$$\tau$$\tau$$\tau$$T$$f(t)$$t$$f(t)$是静止的和遍历的。再说一次，符号如果不是很严格。值得多读一些，因为稍后他引入了括号符号的平均值。的定义也很有意义。事实上，如果我们在等式 (1b) 中打开Brown et al 1989符号。也许它在另一篇论文中被遗忘了？$\langle \cdot \rangle$$T$$S(\tau)$$\langle \cdot \rangle$